eiπ=-1
オイラーの贈物/人類の至宝eiπ=-1を学ぶ/吉田武/ちくま学芸文庫
指数関数を虚数単位iにまで拡張して、
f(t)=eit
とおくと、テーラー級数展開(マクローリン展開)により、
eit=1+it-(1/2!)t2-(1/3!)it3+・・・・・
一方、
g(t)=cost+isint
とおくと、これもテーラー級数展開により、
cost+isint=1+it-(1/2!)t2-(1/3!)it3+・・・・・
結局、
eit=cost+isint
ここで、t=πとすると、
eiπ=-1
e、「ネイピア数」、自然対数の底、y=logxの微分が、「うまくいく」ために採用された「無理数」。
π、円周率、円周と直径の比。これも「無理数」。
-1、「自然数」を拡張して、「減法」についても「閉じている」ようにするために、作り出された負数の単位。
i、-1の正の平方根。この「虚数」の拡張だけで、これ以上何も「発明」しなくても、すべての複素数の平方根が記述できる。
この4つの、「作り物」の数が、ここで、出会っている。
その他の、世界のの「ほころび」