エウレカ！エウレカ！
[問題]
y=cosxのグラフの0≦x≦(π/2)の部分と、x軸、y軸で囲まれた部分の面積をy=asinxおよびy=bsinxによって3等分したい。
ただし、b＜aである。
a,bを求めよ。
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何年か前の沖縄県の教員採用試験に出た問題なんだって。今年試験を受ける人から、質問を受けたんだけど、解いてみる前に、「あ、ごめんなさい、解けました。aは4/3でした！」ってことになって、でも、あまりにもシンプルな問題だから、なんか裏があるんじゃないか？、歴史的にいわくつきの問題なんじゃないか？みたいに気がかりだった。一月ほど前に「フェルマーの最終定理」読んで以来、「数論」ブームだったし。
うつ病患者は明け方に目を覚ます。「早期覚醒」って症状だ。いや、単に老人特有の「はやおき」かも知らんが・・・。
猫のトイレ掃除しなきゃ、犬の散歩に行かなきゃ、・・・「飼育係」の朝は忙しいんだけど、身体が少しも動かない。悶々としたままベッドの上で、半ばまどろみながら、いろいろなことを考える。いやぁーな感じの夢もたくさん見る。昔の恥ずかしい記憶がよみがえる。「死にたい！死にたい！」を打ち消すために、できるだけニュートラルで「メタリック」なことを考えようとする。
そんなとき「数学」はありがたい。「切り干し大根」のように、まったく生臭さを欠いているから、老人の口に合う。4/3の意味について考えてみた。
cosx-asinx
の積分で答えがa=4/3なのだとしたら、これを「単振動の合成」すると、合成波の振幅は、5/3。
「3、4、5」！？ベッドから跳ね起きた！
とり急ぎ、bについて計算してみる。5/12だ！！合成波の振幅は、13/12！！！確信したね。「ピュタゴラス数」だ！
そこで「問題」を「一般化」する。
[問題]
y=cosxのグラフの0≦x≦(π/2)の部分と、x軸、y軸で囲まれた部分の面積をy=asinxによってm:nの比に分割したい。
すなわち、下の図において、S1:S2=m:nとしたい。
aの値を求めよ。
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[解答]
y=cosxと、y=asinxの交点のx座標をθとする。
cosθ=asinθ・・・@
次に、S1が、y=cosx、x軸の0≦x≦(π/2)の部分と、y軸で囲まれる部分の面積のm/(m+n)であることから、
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・・・A
@Aを変形すると、次のようになり、
cosθ-asinθ=0・・・@
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・・・A
これは、原点を中心に反時計回りのθ回転を表す1次変換
| A= |  | cosθ | -sinθ |  |
| sinθ | cosθ |
を用いれば、
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これは、座標平面上の(1,a)という点を、原点を中心にθ回転すると、ちょうどy軸上の点(0,![]()
)というところに移された、ということを意味する。
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したがって、
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これを、a,θについて解くと、
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直角三角形の３辺、1,a,a+{m/(m+n)}を、それぞれ2m(m+n)倍に拡大すると、
x=2m(m+n)
y=n(2m+n)
z=2m2+2mn+n2
こうして、任意の整数の組m,nに対して、直角三角形の３辺を構成する、「ピュタゴラス数」x2+y2=z2
のセットが得られた。すんげい！やってみる？
では、次のフォームのm、nのところに、適当な自然数を入力してください。「計算」ボタンを押すと、これに対応する「ピュタゴラス数」と、確認のための計算結果が表示されます。