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金属結晶の構造

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｢単位格子｣とは、その結晶の性質を失わない最小の｢繰り返し単位｣を言う。

• 体心立方格子では、立方体。
  • 1単位格子に含まれる原子の数は、
    • 立方体各頂点にある原子は、隣接する8格子に共有されているから、と、数える。これが8頂点にある。
    • 立方体の中心にある原子1個は、この格子にのみ含まれているから、そのまま1と数える。
    したがって、合計、×8+1=2
  • 各原子が格子にぎっしりつまった硬い球体と仮定して、その半径を求め、｢充填率｣を計算する。
    • 立方体の一辺の長さをaとすると、立方体の中心にある原子と、それに隣接する4個の原子を含む断面は、縦a、横√2aの長方形で、その対角線は√3a。
      この対角線に沿って3個の球が隙間なく隣接しているから、これを4で割ったものが半径となる。√3a/4。
    • 半径 √3a/4 の球2個が、一辺aの立方体に含まれているから、｢充填率｣は以下のような計算で、約68％になる。
• 面心立方格子でも、立方体。
  • 1単位格子に含まれる原子の数は、
    • 立方体各頂点にある原子は、隣接する8格子に共有されているから、。これが8頂点にある。
    • 各面の中心にある原子1個は、隣接する2格子に共有されているから、。これが6面にある。
    したがって、合計、×6+×8=4
  • 同様に球の半径を求め、｢充填率｣を計算する。
    • 立方体の一辺の長さをaとすると、各面の正方形の対角線は、√2a。
      この対角線に沿って3個の球が隙間なく隣接しているから、これを4で割ったものが半径となる。√2a/4。
    • 半径 √2a/4 の球4個が、一辺aの立方体に含まれているから、｢充填率｣は以下のような計算で、約74％となる。
• 一方、六方最密充填では、正六角柱の中に、まったく同じ構造が3個含まれている。第2層目の3個の球を、1個ずつ含む単位で、底面を隣り合う辺のなす角が60°、120°であるような｢ひし形｣とする四角柱である。
  • 1単位格子に含まれる原子の数は、
    • 第2層目の1個はそのまま、
    • 上面下面の｢ひし形｣の60°の頂点では金属原子は12個の格子に共有されている、このような原子が4個、
    • 120°の頂点では6個の格子に共有、このような原子も4個、
    したがって、合計、1+(1/12)×4+×4=2
  • ｢充填率｣の計算。ここでは逆に球の半径をaとして、この四角柱の体積を求めることにする。
    • 底面の｢ひし形｣の一辺は2a。
    • 高さは、一辺2aの正四面体の高さ2個分である。
      1辺2aの正四面体の高さを求める。正四面体を、その2つの頂点とそれを含まない辺の中点を通る平面で切る。断面はニ等辺三角形だが、その頂角をθとすると、余弦定理から、
      (2a)²=2(√3a)²-2(√3a)²cosθ
      cosθ=
      したがって、正四面体の高さは、
      √3asinθ=
    こうして以下のように計算された｢充填率｣は、面心立方と同じ、74%となる。

体心立方格子	面心立方格子	六方最密充填

• ｢面心立方格子｣と、｢六方最密充填｣の｢充填率｣は、ともにπ/3√2、約74%という数値で奇妙に一致してしまったのには、もちろん｢ウラ｣がある。
  ｢最密構造｣の根拠が｢正四面体構造｣にあるらしいことはわかっている。｢六方最密充填｣が、正四面体を単位にしていることは明らかだ。一見正四面体とは何にも関係なさそうな｢面心立方格子｣もどこかで正四面体と関係を持っているのだろうか?
• 多数のボールを平面的な｢最密構造｣、つまり｢蜂の巣｣型に並べる。その隙間に第2層目を積む。このとき、実は方法は2通りある。隣接する2つの正三角形の重心にどちらもボールを置くことはできないからだ。このことが、第3層目を積むときに、どうしても合同ではない2種類の積み方を生み出してしまう。第1層目と同じ配置が、第4層で初めて繰り返される形式(これが面心立方格子になる)と、第1層と第3層が同じ配置になる形式(これが六方最密充填)。
  
  
  
  

	面心立方格子 (立方最密充填)	六方最密充填
第1層
第2層
第3層
全体

次の図のように、面心立方格子を斜めから眺めると、たしかに正六角形や正三角形が隠されていることが分かる。