10個の赤玉を、4個の箱に詰めることを考える。
  1. 空の箱があってもいいとすると・・・、
    1. 赤玉にも区別がつけられず、箱にも区別がつけられない場合
      • 赤玉には｢個性｣がないから、｢個数｣という把握しかできない。だから、それぞれの箱に｢何個入っているか？｣だけが問題になる。
      • 箱にも｢個性｣がないから、箱の並び方の順序は問題にならない。
      • したがって、
        • その和が10となるような負でない整数(非負整数)4個を選び、
        • 必ず｢昇順｣(大きくなる順)に並べる方法、
        を数えればよいことになる。
      • すべてを｢列挙｣してみると、以下の23通り。
        (0,0,0,10)
        (0,0,1,9)
        (0,0,2,8)
        (0,0,3,7)
        (0,0,4,6)
        (0,0,5,5)
        (0,1,1,8)
        (0,1,2,7)
        (0,1,3,6)
        (0,1,4,5)
        (0,2,2,6)
        (0,2,3,5)
        (0,2,4,4)
        (0,3,3,4)
        (1,1,1,7)
        (1,1,2,6)
        (1,1,3,5)
        (1,1,4,4)
        (1,2,2,5)
        (1,2,3,4)
        (1,3,3,3)
        (2,2,2,4)
        (2,2,3,3)

    2. 赤玉には区別がつけられないが、箱には区別がつけられる場合
      • 上の各場合について、数字(詰められる赤玉の個数)を左から順に名前の付いた4個の箱(A,B,C,D)に割り当てる方法を考える。以下のように、286通りになる
        (0,0,0,10)4!/3!=4
        (0,0,1,9)4!/2!=12
        (0,0,2,8)4!/2!=12
        (0,0,3,7)4!/2!=12
        (0,0,4,6)4!/2!=12
        (0,0,5,5)4!/(2!・2!)=6
        (0,1,1,8)4!/2!=12
        (0,1,2,7)4!=24
        (0,1,3,6)4!=24
        (0,1,4,5)4!=24
        (0,2,2,6)4!/2!=12
        (0,2,3,5)4!=24
        (0,2,4,4)4!/2!=12
        (0,3,3,4)4!/2!=12
        (1,1,1,7)4!/3!=4
        (1,1,2,6)4!/2!=12
        (1,1,3,5)4!/2!=12
        (1,1,4,4)4!/(2!・2!)=6
        (1,2,2,5)4!/2!=12
        (1,2,3,4)4!=24
        (1,3,3,3)4!/3!=4
        (2,2,2,4)4!/3!=4
        (2,2,3,3)4!/(2!・2!)=6
        合計286
      • 赤玉を10個横に並べておく。それぞれに区別がつかないのだから、左から順に(A,B,C,D)に詰めていってもかまわない。
        ○○○○●○○○●○○●○
        10個の赤玉の間に、｢仕切り｣3個を並べる方法の数を数えればよい。
        10+3C3=13C3=13!/(10!・3!)=13・12・11/3・2=286

    3. 赤玉には区別がつけられるが、箱には区別がつけられない場合
      • iの各場合について、空箱でない箱に詰められる赤玉に(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)の名前を割り当てていく。109958通り、となった。

        (0,0,0,10)10C10=1
        (0,0,1,9)10C1=10
        (0,0,2,8)10C2=45
        (0,0,3,7)10C3=120
        (0,0,4,6)10C4=210
        (0,0,5,5)10C5=252
        (0,1,1,8)10C1・9C1=90
        (0,1,2,7)10C1・9C2=360
        (0,1,3,6)10C1・9C3=840
        (0,1,4,5)10C1・9C4=1260
        (0,2,2,6)10C2・8C2=1260
        (0,2,3,5)10C2・8C3=2520
        (0,2,4,4)10C2・8C4=3150
        (0,3,3,4)10C3・7C3=4200
        (1,1,1,7)10C1・9C1・8C1=720
        (1,1,2,6)10C1・9C1・8C2=2520
        (1,1,3,5)10C1・9C1・8C3=5040
        (1,1,4,4)10C1・9C1・8C4=6300
        (1,2,2,5)10C1・9C2・7C2=7560
        (1,2,3,4)10C1・9C2・7C3=12600
        (1,3,3,3)10C1・9C3・6C3=16800
        (2,2,2,4)10C2・8C2・6C2=18900
        (2,2,3,3)10C2・8C2・6C3=25200
        合計109958












    4. 赤玉にも区別がつけられ、箱にも区別がつけられる場合
      • 各赤玉が｢独立に｣、自分が入る箱(A,B,C,D)を｢選ぶ｣方法だから、重複順列、410=1048576
        abcdefghij
        A ○       ○
        B○   ○ ○○  
        C     ○    
        D  ○○    ○ 

      • これを別の見方から確認すると、









  2. 空の箱があってはならないとすると・・・、
    1. 赤玉にも区別がつけられず、箱にも区別がつけられない場合
      • この場合は、
        • その和が10となるような自然数4個を選び、
        • 必ず｢昇順｣(大きくなる順)に並べる方法、
        を数えることになる。
      • I-iの場合から「0」を含むものを除外して、9通り
        (1,1,1,7)
        (1,1,2,6)
        (1,1,3,5)
        (1,1,4,4)
        (1,2,2,5)
        (1,2,3,4)
        (1,3,3,3)
        (2,2,2,4)
        (2,2,3,3)

    2. 赤玉には区別がつけられないが、箱には区別がつけられる場合
      • I-iiと同じく、上の各場合について、数字(詰められる赤玉の個数)を左から順に名前の付いた4個の箱(A,B,C,D)に割り当てる方法を考える。以下のように、84通りになる
        (1,1,1,7)4!/3!=4
        (1,1,2,6)4!/2!=12
        (1,1,3,5)4!/2!=12
        (1,1,4,4)4!/(2!・2!)=6
        (1,2,2,5)4!/2!=12
        (1,2,3,4)4!=24
        (1,3,3,3)4!/3!=4
        (2,2,2,4)4!/3!=4
        (2,2,3,3)4!/(2!・2!)=6
        合計84
      • 空箱があってはならないから、あらかじめ赤玉を1個ずつ、各箱に入れておく（！）
        残りの6個を横に並べ、その間に「仕切り」3個を並べる、と考える。
        ○○●○○●○○●
        6個の赤玉の間に、｢仕切り｣3個を並べる方法の数。
        6+3C3=9C3=9!/(6!・3!)=9・8・7/3・2=84








    3. 赤玉には区別がつけられるが、箱には区別がつけられない場合
      • I-ii同様、上のiの各場合について、空箱でない箱に詰められる赤玉に(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j)の名前を割り当てていく。95640通り、となった。

        (1,1,1,7)10C1・9C1・8C1=720
        (1,1,2,6)10C1・9C1・8C2=2520
        (1,1,3,5)10C1・9C1・8C3=5040
        (1,1,4,4)10C1・9C1・8C4=6300
        (1,2,2,5)10C1・9C2・7C2=7560
        (1,2,3,4)10C1・9C2・7C3=12600
        (1,3,3,3)10C1・9C3・6C3=16800
        (2,2,2,4)10C2・8C2・6C2=18900
        (2,2,3,3)10C2・8C2・6C3=25200
        合計95640


































    4. 赤玉にも区別がつけられ、箱にも区別がつけられる場合
      • I-ivの重複順列、410から、「空箱」があらわれる以下の場合を除外しなければならない。
        1箱のみに詰められた場合4C1・110
        2箱のみに詰められた場合、
        ただし、1箱のみの場合を除く        		4C2・(210-2C1・110)
        3箱のみに詰められた場合、
        ただし、1箱のみの場合、2箱のみの場合を除く        		4C3・{310-3C2・(210-2C1・110)-3C1・110}

        410-4C3・{310-3C2・(210-2C1・110)-3C1・110}-4C2・(210-2C1・110)-4C1・110
        =410-4・{310-3・(210-2・110)-3・110}-6・(210-2・110)-4・110
        =410-4・{310-3・(210-2)-3}-6・(210-2)-4
        =1048576-4・{59049-3・(1024-2)-3}-6・(1024-2)-4
        =1048576-4・(59049-3・1022-3)-6・1022-4
        =1048576-4・(59049-3066-3)-6132-4
        =1048576-4・55980-6132-4
        =1048576-223920-6132-4
        =818520



      • I-ivと同様に、以下のようにして確認できた（！）