• 「くじ」をひく「あなた」の「期待」について、考える。
  • 6点の「当たり」を「A」、3点の「当たり」を「B」、「はずれ」を「C」とする。
  • 「引いたくじはもとに戻さない」から、3回目までの「くじ」の現れ方のすべては、以下の通り。
  • P(x_i)欄で、
    • 一番左側の分数は、1回目から3回目までの順番を考慮（「同じものを含む順列」）、
    • 二番めから四番目までの分数は、それぞれ、1回目、2回目、3回目までの引き方を、左欄一番上の場合を例にして計算、
    • さらに、これらを、「組み合わせ」として表現した。もちろん「順列」としても表現できる。

  	「確率」P(xi)	「得点」xi	xiP(xi)
  AAB ABA BAA		15	60/220
  ABB BAB BBA		12	144/220
  BBB		9	36/220
  AAC ACA CAA		12	72/220
  ABC ・・・ CBA		9	432/220
  BBC BCB CBB		6	216/220
  ACC CAC CCA		6	180/220
  BCC CBC CCB		3	180/220
  CCC		0	0/220
  合計	1	―	1320/220=6

  
  
  
  
• ひかれる「くじ」の一本それぞれがもつであろう「期待」について、考える。
  • 12本の「くじ」に「名前」をつける。
     A₁ , A₂ , B₁ , B₂ , B₃ , B₄ , C₁ , C₂ , C₃ , C₄ , C₅ , C₆ 
    上と同じように、6点の「当たり」を「A」、3点の「当たり」を「B」、「はずれ」を「C」としている。
  • このうちの、たとえば、ひとり、 A₁ のもつ「期待」について考える。
     A₁ にとっての、この「ゲーム」の「ルール」は、こうである、

    3回目までに「わたし」が「選ばれ」れば、「わたし」は6点、もらえる！

  • 「くじ」をひく前に「あなた」は、どれが「当たり」かをもちろん知らないし、個々の「くじ」がどう並んでいるかも、知らない。
    だが、それは、必ず、ひかれる直前には、決まっていたはずだ。
    • 12本の異なる「くじ」の並べ方には、12!の場合があり、
    •  A₁ が何番目にいるか？、のみが関心事なのだから、たの11本の並べ方11!はどうでもよい「重複」といえる。
    • したがって、 A₁ が、
      • 1番目にいる確率は、・・・1/12、
      • 2番目にいる確率も、・・・1/12、
      • 3番目にいる確率も、・・・1/12、
      である。

    何番目？	「確率」P(xi)	「得点」xi	xiP(xi)
    1	1/12	6	6/12=1/2
    2	1/12	6	6/12=1/2
    3	1/12	6	6/12=1/2
    4〜12	各1/12、計9/12=3/4	0	0
    合計	1	―	3/2

  •  A₂ についても同様に、その「彼／彼女」にとっての「期待値」は3/2、
  •  B₁ 〜 B₄ 「各人」にとってのその「期待値」は以下のようにして、3/4、

    何番目？	「確率」P(xi)	「得点」xi	xiP(xi)
    1	1/12	3	3/12=1/4
    2	1/12	3	3/12=1/4
    3	1/12	3	3/12=1/4
    4〜12	各1/12、計9/12=3/4	0	0
    合計	1	―	3/4

  • そして、ここで、「観測者」である「あなた」は、 A₁ , A₂ , B₁ , B₂ , B₃ , B₄ 、「各人」の「期待値」を、ただ、合計すればよいのである。
    
• これは、「期待値」の「和」を計算しても、「和」の「期待値」を計算しても、同じだ、
  「期待値」演算と、「和」の演算の間に「交換法則」が成り立つ、ということを示している！
  E(x+y)=E(x)+E(y)

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 

1
2	2

3	3
3	3