動点Pから原点Oへの距離POと、Pから直線
x
=-1へおろした垂線の長さPHとの間に、
e
=
PO
PH
という関係があるとき、動点Pの描く軌跡を求めたい。
原点O(0,0)を「極」、
x
軸を「始線」とする極座標を用いて、動点Pの軌跡をあらわす極方程式を求めよ。
次の各場合について、上で得られた極方程式を
x
-
y
座標上の方程式に変換し、軌跡の概形を示せ。
e
=
e
=1
e
=2
定点Oとの距離POと定直線
l
との距離PHとの比が
e
であるような動点Pは2次曲線を描く。これを「離心率」とよぶ。
e
=
PO
PH
(@)
0<
e
<1
のとき:
楕円
(A)
e
=1
のとき:
放物線
(B)
e
>1
のとき:
双曲線
これを極方程式で表現する。
定点(焦点)として「極」O、定直線(準線)
l
として、点A(
r
0
,
θ
0
)を通り、OAと垂直な直線とする。
e
=
PO
PH
PO=
r
PH=
PO=
e
PH
r
=
e
{
r
0
-
r
cos(
θ
-
θ
0
)}
r
{1+
e
cos(
θ
-
θ
0
)}=
e
r
0
ここで、
r
0
=1,
θ
0
=πとすると、
r
(1-
e
cos
θ
)=
e
r
-
e
r
cos
θ
=
e
これを直交座標に変換すると、
x
2
+
y
2
=
e
2
(1+
x
)
2
0<
e
<1:楕円
e
=1:放物線
e
>1:双曲線
e
=1/2とすると
x
2
+
y
2
=(1+
x
)
2
/4
4(
x
2
+
y
2
)=(1+
x
)
2
3
x
2
-2
x
+4
y
2
-1=0
e
=1とすると
x
2
+
y
2
=(1+
x
)
2
x
2
+
y
2
=1+2
x
+
x
2
y
2
=1+2
x
e
=2とすると
x
2
+
y
2
=4(1+
x
)
2
x
2
+
y
2
=4+8
x
+4
x
2
3
x
2
+8
x
-
y
2
+4=0