27. 
22. 

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• 「27」(2)では、
  
  を計算する必要があった。
• 「22」(1)で証明した式、
  _nC_r-_n-1C_r=_n-1C_r-1     n2  ,  1rn-1
  を少し変形すれば、
  _n+1C_r+1-_nC_r+1=_nC_r     n1  ,  0rn-1
  これを用いて、上の計算が簡単になる方法が、見つけられるのでは？
• というわけで、次の問題を作ってみました。｢ヒント｣は、｢パスカルの三角形｣(裏面)です！

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【問題】

1.   を証明せよ。ただし、  n1  ,  0rn-1  とする。
2.   を証明せよ。
3.   を求めよ。
4.   を求めよ。

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0C0 1C0 1C1 2C0 2C1 2C2 3C0 3C1 3C2 3C3 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4 5C0 5C1 5C2 5C3 5C4 5C5 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6 7C0 7C1 7C2 7C3 7C4 7C5 7C6 7C7 8C0 8C1 8C2 8C3 8C4 8C5 8C6 8C7 8C8 9C0 9C1 9C2 9C3 9C4 9C5 9C6 9C7 9C8 9C9 10C0 10C1 10C2 10C3 10C4 10C5 10C6 10C7 10C8 10C9 10C10 11C0 11C1 11C2 11C3 11C4 11C5 11C6 11C7 11C8 11C9 11C10 11C11 12C0 12C1 12C2 12C3 12C4 12C5 12C6 12C7 12C8 12C9 12C10 12C11 12C12 13C0 13C1 13C2 13C3 13C4 13C5 13C6 13C7 13C8 13C9 13C10 13C11 13C12 13C13

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

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【問題】

1.   を証明せよ。ただし、  n1  ,  0rn-1  とする。
2.   を証明せよ。
3.   を求めよ。
4.   を求めよ。

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【解答】

1. 
2. 

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   計
3. 

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4. 

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• こうして、「715」の謎が解けた。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• こうして得られた「公式」        は、「パスカルの三角形」の中に、ちゃんと、隠されていた！

• ₃C₃と₄C₄とは等しい。
• ₄C₃+₄C₄=₅C₄である。
• だから、₃C₃+₄C₃=₅C₄である。
• 次に₅C₃+₅C₄=₆C₄である。
• ということは、₃C₃+₄C₃+₅C₃=₆C₄である。
• 以下同様にして、₃C₃+₄C₃+₅C₃+・・・+₁₁C₃=₁₂C₄である。









• 数字で見てみると、

• 1+4=5
• 1+4+10=15
• 1+4+10+20=35
• 1+4+10+20+35=70
• 1+4+10+20+35+56=126
• 1+4+10+20+35+56+84=210
• 1+4+10+20+35+56+84+120=330
• 1+4+10+20+35+56+84+120+165=495
• 1+4+10+20+35+56+84+120+165+220=715
というわけであった♪