【問題】

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• 引くたびに元に戻す「復元抽出」であるから、毎回「独立」な4通りの選択肢があり、これを3回繰り返すから、それぞれ「無数に」ある4種類のカードの山から、3枚引いて並べる「重複順列」、4³=64(アイ)
• 私は受験生ではないから、そんな、64種類の数字の組を書き出してみる、などという面倒くさいことは決してしたくないから、コンピュータに手が伸びて、「そんなことは、機械にさせよう！」と思ってしまう。
  以下のようなBASICプログラムを書いてみる。
  1から4の「ループ」を3重に繰り返せば、たちまち64通り、全部書き出してくれる。おのおのの数字の組(a,b,c)に対して、
  1. 「積abc」が3の倍数か？
  2. 「積abc」が2の倍数か？
  3. 「和a+b+c」が3の倍数か？
  4. 「和a+b+c」が2の倍数か？
  の判断も、してもらった。
  3で割った結果の小数点以下を切り捨てて整数化したものをもう一度3倍して、元の数字と同じか？、という回りくどいことをしているが、これがプログラミングの世界では「倍数性」判断の常套手段なのだ。

140 for k=1 to 4 150 for l=1 to 4 160 for m=1 to 4 170 p=k*l*m 180 q=k+l+m 190 pa=0 200 pb=0 210 if int(p/3)*3=p then pa=1 220 if int(p/2)*2=p then pb=1 230 qa=0 240 qb=0 250 if int(q/3)*3=q then qa=1 260 if int(q/2)*2=q then qb=1 270 print "(";k;",";l;",";m;")";pa;pb;qa;qb 280 next m 290 next l 300 next k 310 end

• 計算結果は以下の通り。各数字の組の右側に並んだ4つの「0,1」記号は、左から順に、
  1. 「積abc」が3の倍数か？
  2. 「積abc」が2の倍数か？
  3. 「和a+b+c」が3の倍数か？
  4. 「和a+b+c」が2の倍数か？
  について、「yes」なら「1」、「no」なら「0」、をあらわしている。

( 1, 1, 1) 0 0 1 0 ( 1, 1, 2) 0 1 0 1 ( 1, 1, 3) 1 0 0 0 ( 1, 1, 4) 0 1 1 1 ( 1, 2, 1) 0 1 0 1 ( 1, 2, 2) 0 1 0 0 ( 1, 2, 3) 1 1 1 1 ( 1, 2, 4) 0 1 0 0 ( 1, 3, 1) 1 0 0 0 ( 1, 3, 2) 1 1 1 1 ( 1, 3, 3) 1 0 0 0 ( 1, 3, 4) 1 1 0 1 ( 1, 4, 1) 0 1 1 1 ( 1, 4, 2) 0 1 0 0 ( 1, 4, 3) 1 1 0 1 ( 1, 4, 4) 0 1 1 0

( 2, 1, 1) 0 1 0 1 ( 2, 1, 2) 0 1 0 0 ( 2, 1, 3) 1 1 1 1 ( 2, 1, 4) 0 1 0 0 ( 2, 2, 1) 0 1 0 0 ( 2, 2, 2) 0 1 1 1 ( 2, 2, 3) 1 1 0 0 ( 2, 2, 4) 0 1 0 1 ( 2, 3, 1) 1 1 1 1 ( 2, 3, 2) 1 1 0 0 ( 2, 3, 3) 1 1 0 1 ( 2, 3, 4) 1 1 1 0 ( 2, 4, 1) 0 1 0 0 ( 2, 4, 2) 0 1 0 1 ( 2, 4, 3) 1 1 1 0 ( 2, 4, 4) 0 1 0 1

( 3, 1, 1) 1 0 0 0 ( 3, 1, 2) 1 1 1 1 ( 3, 1, 3) 1 0 0 0 ( 3, 1, 4) 1 1 0 1 ( 3, 2, 1) 1 1 1 1 ( 3, 2, 2) 1 1 0 0 ( 3, 2, 3) 1 1 0 1 ( 3, 2, 4) 1 1 1 0 ( 3, 3, 1) 1 0 0 0 ( 3, 3, 2) 1 1 0 1 ( 3, 3, 3) 1 0 1 0 ( 3, 3, 4) 1 1 0 1 ( 3, 4, 1) 1 1 0 1 ( 3, 4, 2) 1 1 1 0 ( 3, 4, 3) 1 1 0 1 ( 3, 4, 4) 1 1 0 0

( 4, 1, 1) 0 1 1 1 ( 4, 1, 2) 0 1 0 0 ( 4, 1, 3) 1 1 0 1 ( 4, 1, 4) 0 1 1 0 ( 4, 2, 1) 0 1 0 0 ( 4, 2, 2) 0 1 0 1 ( 4, 2, 3) 1 1 1 0 ( 4, 2, 4) 0 1 0 1 ( 4, 3, 1) 1 1 0 1 ( 4, 3, 2) 1 1 1 0 ( 4, 3, 3) 1 1 0 1 ( 4, 3, 4) 1 1 0 0 ( 4, 4, 1) 0 1 1 0 ( 4, 4, 2) 0 1 0 1 ( 4, 4, 3) 1 1 0 0 ( 4, 4, 4) 0 1 1 1

• 「積abc」と「和a+b+c」のそのまた「積」が「3の倍数か？／2の倍数か？」を考えなければならないのだから、上のi,ii,iii,ivのそれぞれについての「yes/no」、合計2⁴=16分類した表に、これらの数字の組を割り当てる。

• 定められた得点と、それに対応する数字の組の個数をまとめると、

	6の倍数	3の倍数であるが 2の倍数でない	3の倍数でないが 2の倍数である	3の倍数でなく 2の倍数でない
6の倍数	X=5	X=5	X=5	X=5
	6	6	12	6
3の倍数であるが 2の倍数でない	X=5	X=3	X=5	X=3
	0	1	0	6
3の倍数でないが 2の倍数である	X=5	X=5	X=1	X=1
	5	3	9	9
3の倍数でなく 2の倍数でない	X=5	X=3	X=1	X=0
	0	1	0	0

• こうして期待値が計算できる。
  

  得点 X	確率 P(X)	XP(X)
  5	38/64	190/64
  3	8/64	24/64
  1	18/64	18/64
  0	0/64	0/64
  計	1	232/64=29/8

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• こんなやり方を説明されても、自らの「手」でとかなければならない受験生には、何にもありがたみがないことはわかっておりますが、
  ところで、「機械にはできるが、人間にはできない」というのはどんな事柄なんだろう？、と考えてみるのも、意義深いとも思われ、・・・、
  また、当然のことながら、こんな問題を作った人も、もちろん、真面目に「手」で計算などしていない、ちゃんと「機械」で確認しているに違いないのだし。

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• (1)「積abc」について。
  • 「積abcが奇数である」のは、a,b,cがすべて奇数である場合に限られる。
    だから「1」、「3」のカードしか使わない。
    (1,1,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(3,3,3)・・・8通り(ウ)
  • 「積abcが3の倍数である」のは、a,b,cのうち少なくとも1個が3の倍数であればよい。
    余事象を考えて、3の倍数がひとつも含まれない、すなわち、「1」、「2」、「4」のカードしか使わない、は、3³=27
    全体64から引いて、64-27=37・・・(エオ)
  • 「積abcが6の倍数である」のは、
    • 3の倍数であり、かつ、
    • 偶数
    
    ｢3の倍数かつ奇数｣ならば、
    • 「1」、「3」のカードしか使わない、かつ、
    • 「3」を少なくとも1回使う、
    
    だから、さらに、｢3の倍数でなくかつ奇数｣は、
    • 「1」のカードしか使わない、
    
    ここで、集合A,Bを、
    • A:3の倍数
    • B:偶数
    とすれば、
    • n()=27
    • n(A)=n(U)-n()=64-27=37
    • n()=n(U)-n(A)=8
    • n(B)=n(U)-n()=64-8=56

    ｢3の倍数でなくかつ奇数｣		(1,1,1)のみ
    ｢3の倍数かつ奇数｣		であって(1,1,1)以外

    • n()=n()-n()=8-1=7

    ｢6の倍数｣

    Aであってでない

    • n()=n(A)-n()=37-7=30・・・(カキ)
    こんな回りくどいやり方をとらざるを得ないところが、上の表を見てもわかるように、人間には不得意な部分であることをあらわしている♪
  
  
  
  
  
  
  

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• (2)「和a+b+c」について
  • 奇数(Odd Number)を【O】、偶数(Even Number)を【E】とあらわすことにすると、3数の和については、

    【O】+【O】+【O】	=	【O】	「1」「3」のみ	3C3・23=8
    【O】+【E】+【E】	=	【O】	「1」「3」1回、「2」「4」2回	3C1・21・22=24
    【O】+【O】+【E】	=	【E】	「1」「3」2回、「2」「4」1回	3C2・22・21=24
    【E】+【E】+【E】	=	【E】	「2」「4」のみ	3C3・23=8

    となって、「和a+b+c」が偶数であるのは、計24+8=32、その確率は、32/64=1/2・・・(クケ)
  • 「和a+b+c」が3の倍数になる場合は、
    3=1×3a+b+c4×3=12
    だから、その和が3,6,9,12のいずれか。書き出すしか仕方が、ない。
    • 3=1+1+1
    • 6=1+1+4=1+2+3=2+2+2
    • 9=1+4+4=2+3+4=3+3+3
    • 12=4+4+4
    
    
    • (1,1,1)・・・1通り
    • (1,1,4)・・・3通り
      (1,2,3)・・・3!=6通り
      (2,2,2)・・・1通り
    • (1,4,4)・・・3通り
      (2,3,4)・・・3!=6通り
      (3,3,3)・・・1通り
    • (4,4,4)・・・1通り
    計22通り、その確率は、22/64=11/32・・・(コサシス)

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• (3)いよいよ期待値の計算である。
  • 基本方針は、
    • ここまでの作業で、具体的に数え上げることのできたものは、それを利用しよう。
    • しかし、たとえば、「積が6の倍数」のように、あまりに複雑なものは、避けたい。
      問題文もX=3は？、しか訊いていないところが、｢ややこしいX=5は『余事象』で処理せよ｣という｢誘導｣であると思われる。
  • 「和a+b+c」が3の倍数、はすべてリストアップできている。

    6の倍数	3の倍数で2の倍数でない
    (1,1,4)・・・3通り (1,2,3)・・・3!=6通り (2,2,2)・・・1通り (4,4,4)・・・1通り 計11通り	(1,1,1)・・・1通り (1,4,4)・・・3通り (2,3,4)・・・3!=6通り (3,3,3)・・・1通り 計11通り

    
    
    
    
    
    
    
    これらの｢積｣がどうなっているかを調べる。

    	｢和｣が 6の倍数	｢和｣が 3の倍数で2の倍数でない
    ｢積｣が6の倍数	(1,2,3)・・・3!=6通り	(2,3,4)・・・3!=6通り
    ｢積｣が3の倍数で 2の倍数でない		(3,3,3)・・・1通り
    ｢積｣が2の倍数で 3の倍数でない	(1,1,4)・・・3通り (2,2,2)・・・1通り (4,4,4)・・・1通り	(1,4,4)・・・3通り
    ｢積｣が3の倍数でも 2の倍数でもない		(1,1,1)・・・1通り

  • 「積abc」が奇数、もすべてリストアップできている。
    (1,1,1),(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(3,3,3)・・・8通り
    奇数3数の和だから、これらすべて｢和｣も奇数であることに気づく♪

    	｢和｣が 3の倍数で2の倍数でない	｢和｣が 3の倍数でも2の倍数でもない
    ｢積｣が3の倍数で 2の倍数でない	(3,3,3)・・・1通り	(1,1,3)・・・3通り (1,3,3)・・・3通り
    ｢積｣が3の倍数でも 2の倍数でもない	(1,1,1)・・・1通り

  • ここまでの段階で、下の図の○をつけた場所については、わかってしまったのだ。
    X=3となるのは、1+3+3+1=8通り、その確率は、8/64=1/8・・・(セソ)
    X=1となるもののうち、｢『和』が3の倍数でないが2の倍数である｣、かつ、｢『積』が3の倍数でも2の倍数でもない｣、のエリアに該当するものが｢ない｣こともわかってしまったから、あとは、
  • ｢『積』が3の倍数でない｣、すなわち、3の倍数がひとつも含まれない、すなわち、「1」、「2」、「4」のカードしか使わない、3³=27の分配を考えるだけで、X=1が計算でき、
    一番面倒なX=5は、｢余事象｣として処理する、めどが立った♪

• 「1」、「2」、「4」のカードしか使わない、3³=27通りについて

  (1,1,1)・・・1通り (2,2,2)・・・1通り (4,4,4)・・・1通り

  (1,1,2)・・・3通り (1,2,2)・・・3通り (1,1,4)・・・3通り (1,4,4)・・・3通り (2,2,4)・・・3通り (2,4,4)・・・3通り

  (1,2,4)・・・3!=6通り

  
  

  	｢和｣が 6の倍数	｢和｣が 3の倍数で 2の倍数でない	｢和｣が 2の倍数で 3の倍数でない	｢和｣が 3の倍数でも 2の倍数でもない
  ｢積｣が 2の倍数で 3の倍数で ない	(1,1,4) ・・・3通り (2,2,2) ・・・1通り (4,4,4) ・・・1通り	(1,4,4) ・・・3通り	(1,1,2) ・・・3通り (2,2,4) ・・・3通り (2,4,4) ・・・3通り	(1,2,2) ・・・3通り (1,2,4) ・・・6通り
  ｢積｣が 2の倍数でも 3の倍数でも ない		(1,1,1) ・・・1通り

  
  
  
  
  
  
  
• こうして、下の表の2か所を除いて、すべて計算できた。(?)の部分は、同じX=5エリアだから、｢余事象｣で計算できる。

	6の倍数	3の倍数であるが 2の倍数でない	3の倍数でないが 2の倍数である	3の倍数でなく 2の倍数でない
6の倍数	X=5	X=5	X=5	X=5
	6	6	(?)	(?)
3の倍数であるが 2の倍数でない	X=5	X=3	X=5	X=3
	0	1	0	6
3の倍数でないが 2の倍数である	X=5	X=5	X=1	X=1
	5	3	9	9
3の倍数でなく 2の倍数でない	X=5	X=3	X=1	X=0
	0	1	0	0

• もう一度期待値計算の表をあげておく。
  

  得点 X	確率 P(X)	XP(X)
  5	38/64	190/64
  3	8/64	24/64
  1	18/64	18/64
  0	0/64	0/64
  計	1	232/64=29/8