【問題】
正の実数x,y,zが ![]() をみたすとき、 x+2y+3zの最小値を求めよ。 ![]() zを、定数z0とみなして、 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() これは、漸近線 ![]() ![]() とする分数関数である。 x+2y+3z0=Aとおく。 これは傾き- ![]() ![]() ![]() これら(1)(2)が第1象限で、共有点をもつ条件の下で、Aが最小となるのは、両者が接するときであろう。 |
そこで、(1)の微分係数が、-![]() (1)上の点を求めることになる。 ![]() ![]() ![]() これが、- ![]() ![]() y2-x2=0 (y-x)(y+x)=0 求める点は第1象限にあるから、y=x・・・(3) (1')(3)の交点が、求める接点である。 ![]() ![]() (2)にこれを代入して、 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ふたたび、定数z0を変数zと読み直して、 ![]() ここで、 ![]() 相加平均・相乗平均の関係より、 ![]() 等号が成立するのは、 ![]() すなわち、 (z-12)2=144 (z-12)2-122=0 {(z-12)-12}{(z-12)+12}=0 z(z-24)=0 z>12だから、z=24 一方、接点は、 ![]() ![]() 以上から、x=y=z=24のとき、最小値144をとる。 【注】陰関数微分のところは、「判別式」による処理も可能。そうすれば、かつかつ、文系の範囲、とも言えるか? |