｢背理法｣・｢対偶｣特訓シート

【｢背理法｣の論証の書き方】

であるならば、であることを示したい。
と仮定する。
すなわち、かつと仮定する。
かつであるから、
・・・・・・
・・・・・・
となり、これは、の仮定に反する。
よって、
であるならば、であることが、示された。

【例題1】整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることを示せ。
整数nに対して、であることを示したい。
整数nに対して、であると仮定する。
すなわち、であると仮定する。
であるから、

これは、との仮定に反する。

よって、
整数nに対して、であることが示された。
整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることを示したい。
整数nに対して、n²が偶数であり、かつ、nが偶数でないと仮定する。
すなわち、n²が偶数であり、かつ、nが奇数であると仮定する。
nが奇数であるから、
n=2m+1 (mは整数)と、書くことができる。
n²=(2m+1)²=4m²+4m+1
であるから、n²は奇数である。
これは、n²が偶数である、との仮定に反する。
よって、
整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることが示された。

【｢対偶｣の論証の書き方】

であるならば、であることを示したい。
「対偶」をとって、であるならば、であることを示す。
であるから、
・・・・・・
・・・・・・
となる。
よって、
であるならば、であることが、示された。

【例題1】整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることを示せ。
整数nに対して、であることを示したい。
「対偶」をとって、整数nに対して、であること示す。
すなわち、であること示す。
であるから、

こうして、であることが示された。

よって、
整数nに対して、であることが示された。
整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることを示したい。
「対偶」をとって、整数nに対して、nが偶数でないならば、n²は偶数でないこと示す。
すなわち、nが奇数ならば、n²は奇数であることを示す。
nが奇数であるから、
n=2m+1 (mは整数)と、書くことができる。
n²=(2m+1)²=4m²+4m+1
であるから、n²は奇数である。
こうして、nが奇数ならば、n²は奇数であることが示された。
よって、
整数nに対して、n²が偶数ならば、nは偶数であることが示された。

練習問題

x,y,zは実数とする。x+y+z=1ならば、x,y,zのうち少なくとも1つは、以上であることを示せ。
(1),(3)が「真」であるから、これを証明してください。
[神戸大(文系)2008]
一橋大[1999_1]

解答

【背理法】  実数x,y,zに対して、x+y+z=1ならば、x,y,zのうち少なくとも1つは、以上であることを示したい。
実数x,y,zに対して、x+y+z=1であり、かつ、「x,y,zのうち少なくとも1つは、以上」ではない、と仮定する。
すなわち、x+y+z=1、かつ、x,y,zのすべてが、未満である、と仮定する。
x   y   z
であるから、
x+y+z1
これは、x+y+z=1  であるとの仮定に反する。
よって、実数x,y,zに対して、x+y+z=1ならば、x,y,zのうち少なくとも1つは、以上であることが示された。
【対偶】  実数x,y,zに対して、x+y+z=1ならば、x,y,zのうち少なくとも1つは、以上であることを示したい。
実数x,y,zに対して、「x,y,zのうち少なくとも1つは、以上」ではないならば、x+y+z=1でないことを示す。
すなわち、x,y,zのすべてが、未満であるならば、x+y+z=1ではないことを示す。
x   y   z
であるから、
x+y+z1
よって、実数x,y,zに対して、x+y+z=1ならば、x,y,zのうち少なくとも1つは、以上であることが示された。

2	2

3	3

3	3

4	4

4	4