【問題】A,B二人が次のようなゲームをする。
    図のような4×4の升目のシートを一枚ずつ持ち、互いに意思の連絡なく、16個の升目のうち２ヶ所を選ぶ。
    二人の選んだ升目が
    • ２か所とも同じ、であれば２点、
    • １か所のみ同じ、であれば１点、
    • ２ヶ所とも異なっていれば、０点
    とする。得点の期待値を求めたい。
    ただし、このシートを、同一平面内で、シートの中央を中心に９０度、１８０度、２７０度回転して重なるものは、同じ配置とみなすものとする。
  • 以下のようにシートをP,Q,R,Sの４区画に分けると、それぞれの区画の内部の升目は、回転によっても同じ区画にとどまる。
  • したがって、A,Bがそれぞれどの区画から２つの升目を選ぶかにより、確率は異なってくるであろう。
    その選び方は、以下のように分類できる。
    1. A,Bともに、同一区画から２ヶ所選び、かつ、A,Bの選んだ区画が同じである場合(PP-PP型)・・・４通り
    2. A,Bともに、同一区画から２ヶ所選んだが、A,Bの選んだ区画が異なる場合(PP-QQ型)・・・１２通り
    3. A,Bのどちらか一方のみ、同一区画から２ヶ所選び、他方は二つの区画から１ヶ所ずつ選んだ。そのうちの一方が同じ区画である場合(PP-PQ型)・・・２４通り
    4. A,Bともに、異なる二区画から２ヶ所を選び、かつ、A,Bの選んだ区画が二つとも同じである場合(PQ-PQ型)・・・６通り
    5. A,Bのどちらか一方のみ、同一区画から２ヶ所選び、他方は二つの区画から１ヶ所ずつ選んだ。二人の選んだ区画に重なり合いがない場合(PP-QR型)・・・２４通り
    6. A,Bともに、異なる二区画から２ヶ所を選び、かつ、A,Bの選んだ区画の一方のみ同じである場合(PQ-PR型)・・・２４通り
    7. A,Bともに、異なる二区画から２ヶ所を選び、かつ、二人の選んだ区画に重なり合いがない場合(PQ-RS型)・・・６通り
    計１００通り
  • 以下、それぞれの場合について検討する。
    1. たとえば、Q区画の場合、A,Bがともに左図のように隣り合わせの升目を選んだならば、これらは回転によって重なるから、得点２となる。
      また、A,Bがともに右図のように一つ置きの升目を選んだならば、やはりこれらは回転によって重なるから、得点２となる。
      ところが、A,Bのうち一方が左図、他方が右図のように選んだならば、得点は１である。
       
      この事情は、他の区画でも変わらない。
       
      左図「隣り合わせ」型の選び方は4通り、右図「一つ置き」型は2通り。
      したがって、得点2となるの場合の数は、4×(4×4+2×2)=80
      得点1となるの場合の数は、4×(4×2+2×4)=64
    2. この場合、回転しても決して重なることがないから、得点は0である。
      その場合の数は、12×4C2×4C2=12×6×6=432
    3. この場合、回転すれば、かならず1か所重なるから、つねに得点は1である。
      その場合の数は、24×4C2×(4C1×4C1)=24×6×4×4=2304
    4. この場合の、すべての場合の数は、6×(4C1×4C1)×(4C1×4C1)=1536
      このうち得点2となるのは、例としてPQ型を考えれば、
         
      Aが上の4つのいずれかの型（回転して重なるものは、それぞれ4通りある）を選び、Bはそれと同じ型を選べばよいから、
      6×(4×4)×4=384
      得点1となるのは、その他のすべてであるから、1536-384=1152、
      Aが上の4つのいずれかの型を選び、Bはそれと異なる型を選ぶから、
      6×(4×4)×(3×4)=1152
    5. この場合は、すべて得点0である。
      その場合の数は、24×4C2×(4C1×4C1)=24×6×4×4=2304
    6. この場合は、すべて得点1である。
      その場合の数は、24×(4C1×4C1)×(4C1×4C1)=6144
    7. この場合は、すべて得点0である。
      その場合の数は、6×(4C1×4C1)×(4C1×4C1)=1536





  • 以上、まとめると、
    得点2得点1得点0計
    I80640144
    II00432432
    III0230402304
    IV384115201536
    V0023042304
    VI0614406144
    VII0015361536
    計4649664427214400
  • 一方、すべての場合の数は、16C2×16C2=14400であるから、得点ごとの確率は、
    得点2得点1得点0計
    464/14400
    =29/900
    =0.03222...    		9664/14400
    =151/225
    =0.67111...    		4272/14400
    =89/300
    =0.29666...    		1
  • 得点の期待値は、2×(29/900)+1×(151/225)=331/450=0.73555...