【複素平面(ガウス平面)で考えると?】
Z
1
=
r
1
(cosα+
i
sinα)
Z
2
=
r
2
(cosβ+
i
sinβ)
に対して、
Z
1
Z
2
=
r
1
r
2
(cosα+
i
sinα)(cosβ+
i
sinβ)=
r
1
r
2
{cos(α+β)+
i
sin(α+β)}
これは、
複素数
Z
1
に、複素数
Z
2
を「かける」ということは、「複素平面」上では、
Z
2
の「絶対値」倍に拡大し、
Z
2
の「偏角」だけ、反時計回りに回転する
ことを表している。
上の問題(2)の、複素数
Z
に対して、
Z
k
を次のようにおくと、
これは、複素平面上では、半径1の円に内接する「正
n
角形」の各頂点を表すことになる。
n
=7の場合について作図してみると右の通り。
ここに
という複素数をかければ、
同一円周上を
2π/
n
だけ
回転する
ことになるから、
それぞれ
Z
k
は、
Z
k
+1
に移り、この多角形の
形は変わらない
。
(2)はこの当然の理屈を表している。
(3)では、複素数
Z
の実部、虚部がともに0であることを示せ、といっている。
今度は、上の複素平面上の正多角形を、いつも通りの
x
-
y
平面上に移し変えて(!)、
とおくと、明らかに(!)
すなわち、
Z
=0である。