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直線 l  :  a x+b y+c = 0 に、この直線外の点 (x₀ , y₀) から引いた垂線の長さ d は、次の式で表されることを示せ。

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• [証明1]・・・｢ベクトル｣を用いて(｢垂線の足｣Hの座標を決して求めることなく！)
  
  
  • 準備
    • 直線を決定するには、(i) 通過する一点と、(ii) 方向を定めることで十分である。
      直線 l を、(i) 点B (x₁ , y₁) を通り、(ii) 法線ベクトルの一つを  = (a , b) とする直線であるとする。すなわち、 l 上の動点P(x,y)に対して、
        ・  =0・・・(1)
    • これを成分表示することによって、 x₁ , y₁ , c の関係が得られる。
      a(x-x₁)+b(y-y₁)=0・・・(1')
      これが、 a x+b y+c = 0 と同一の直線を表していることから、
      c = - ax₁ - by₁ ・・・(2)
    
    
    
    
  • A (x₀ , y₀) 、Aから直線 l に下ろした垂線の足をHとすると、求める長さ d は、
     d = |  | 
    である。
    
    
    • まず、Hは l 上の点であるから、(1)をみたす。すなわち、
        ・  =0
      これをAを始点に書き直すと、
        ・ ( - ) =0
      すなわち、
        ・  =  ・  ・・・(3)
      
      
    • 一方、直線AHは直線 l と垂直であるから、
        = k  ・・・(4)
      を満たす定数 k が存在する。
      (Aと直線 l との位置関係によって、 k は正の値も負の値もとりうることに注意を要する！)
      
      
      
    • (3)(4)から、
       k  ・  =  ・  
      すなわち、
       k |  |² =  ・  ・・・(3')
      
      
    • また(4)から、求める長さ d は、
       d = |  | =| k | |  | ・・・(4')
      (右辺の2つの｢絶対値記号｣の意味の違いに注意。 | k | は、定数 k が正負いずれの値もとりうることから必要となった｢絶対値｣、 |  | は法線ベクトル  の｢大きさ｣である。)
      
      
    • したがって、(3')(4')から、

      d = |  | =| k | |  | =	|  ・  |	・・・(5)
      	|  |

      
      (内積  ・  は、2つのベクトルのなす角が鋭角か鈍角であるかによって、正の値も負の値もとりうることから、｢絶対値｣を取る必要があるのである。)
    
    
    
  • こうして、すべての準備が整った。
    • まず、
        ・  = a (x₁-x₀) + b (y₁-y₀)
      (2)を用いて、
        ・  = a (x₁-x₀) + b (y₁-y₀) = - ax₀ - by₀ -c
      したがって、
       |  ・  | = | a (x₁-x₀) + b (y₁-y₀) | = | - ax₀ - by₀ -c | = | ax₀ + by₀ +c | 
    • 一方、
      
    
    
    
  • よって、
    
    が得られた。
    
    

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  • 補足：  | ax₀ + by₀ +c | の、｢絶対値記号｣の意味・・・｢直線の『正領域』、『負領域』｣
    一般に、直線 l  :  a x+b y+c = 0 に対して、点 (X , Y) が、
    •  l 上の点であるとき、 a X+b Y+c = 0 である。
    •  l 上の点でないときは、 すなわち、
        または  のいずれかである。
      •   となる点 (X , Y) の集合を、直線 l の「正領域」、
      •   となる点 (X , Y) の集合を、直線 l の「負領域」、
      と呼ぶ。
      
    • 例えば、直線 l  : 2x+3y-6 = 0 に対して、
      
      • (0,0)は、2・0+3・0-6=-6であるから、「負領域」である。(0,0)と同じ側、すなわち l の「下側」は、「負領域」である。
      • (3,2)は、2・3+3・2-6=6であるから、「正領域」である。(3,2)と同じ側、すなわち l の「上側」は、「正領域」である。
    • [注意]上の例で、直線 l の式を、: -2x-3y+6 = 0 と書くことも可能である。このとき「正領域」と「負領域」は逆転する。
      「陰関数表示」の直線は表現方法が無数にあり、直線のどちら側が「正領域」、「負領域」であるかは、その表現方法に依存する！
  
  
  

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• [証明2]・・・xy座標の方程式を用いて(｢垂線の足｣Hの座標を求めて！)
  • 直線 l  :  a x+b y+c = 0 に対して、これと直交し、点A (x₀ , y₀) を通る直線 m は、
    直線 m  :  b (x-x₀)-a (y-y₀) = 0 
    と書くことが出来る。これら2直線の交点が、Hであるから、
    
    この連立方程式を解いて、
    
    これがHの座標である。
    
    
  • 行列（数学C）を用いれば、
    
    
    
  • したがって、AHの長さ d は、
    
    
    
  • こうして、
    
    が得られた。