ベクトル

ベクトルの「1次独立性」とは？
「独立 independent」は、「従属 dependent」に否定の接頭辞in-をあとからくっつけて派生した言葉だ。
「有理数」でないものが「無理数」と定義されるのと同じように、「従属」でないものが「独立」なのだ。
ではベクトルの「1次従属性」とは？
「他者」によって表現されてしまうことである。
- たった2個のベクトルの間の関係なら、これは「定数倍」しか考えられない。すなわち、
  =t
  となる実数 t が存在するならば、はの「定数倍」として表現されてしまっているから、はに「従属」である。
  t=0なら、は零ベクトルだから、零ベクトルはすべてのベクトルに「従属」である。
- 3個のベクトルの間の関係なら、あるベクトルが、他の2個のベクトルの「定数倍および足し算」で（これを「1次結合」と呼ぶ）表現されるときである。すなわち、
  =s+t
  となる実数 s , t が存在するならば、はとの「1次結合」として表現されてしまっているから、はとに「従属」である。
「1次独立性」は、これを否定すればよいのだから、
- 2個のベクトルの間の関係では、どちらの一方も、それぞれ他方の「定数倍」としては決して表現できないこと。
  つまり、2次元（平面ベクトル）の世界では、
  いずれも零ベクトルでなく、かつ、
  互いに平行でないこと
  となる。
  ただし、本当は（！）ベクトルには「平行」という概念は、ない。ベクトルは「大きさ」と「方向」という2つの要素のみを持ち、したがって「位置」は表さない。平行移動して重なるベクトルは、「平行」なのではなくて、同じベクトルなのである。
- 3個のベクトルの間の関係では、どの1個も、他の2個の「1次結合」としては決して表現できないこと。
  つまり、3次元（空間ベクトル）の世界では、
  いずれも零ベクトルでなく、かつ、
  どの2個も、互いに平行でなく、かつ、
  3個が同一平面上にないこと
  となる。
  こちらも、本当は（！）ベクトルは「大きさ」と「方向」という2つの要素のみを持ち、したがって「位置」は表さないから、同一平面上にあるかどうかは、本来知ったことではない（！）。3個のベクトルの根元（始点）を1点にそろえた場合に、という意味である。
平面ベクトルの「１次独立性」に関する重要な原則
平面内の任意の点を表す位置ベクトルは、

２個の１次独立なベクトルの、
１次結合によって、
ただ一通りに（一意的に）、
表現できる。

したがって、平面ベクトル問題の「処理手順」は、次のようになるだろう。

始点をどこにするか？、を決める。・・・例えばAとする。
2個の１次独立ベクトルを、選ぶ（これを「基底」と呼ぶ）。・・・例えば,とする。
他のすべてを表す位置ベクトルはこれらにたいして１次従属なのだから、
かならず、2個の「基底」の１次結合で表されるはずだ！
・・・例えば、=p+qのように。

だから平面ベクトルの基本図形は三角形なのである。三角形のどの2辺も、必ず1次独立である。四角形では、4番目の点は必ず1次従属である！

必要な「道具（ツール）」は、次のものだけ。
- 始点のつけかえルール
  始点のつけかえルール
  =-
  もとのベクトルの「終点から始点を引く」。ベクトルは「幾何学」の道具ではない！、「線形代数学」という分野の演算システムの一つなのだ。図を描いてみて考えつく、のではなく、まったく形式的な演算で結論が得られるところに意義がある！
- 共線条件（3点が同一直線上にある条件）
  - 異なる2点が与えられれば、それらを通る直線がただ1本、決定する。
  - ここに新たな3点めが現れたとき、それがこの直線上にあるためには条件が必要だ。
  共線条件
  Pが直線AB上にあるならば、
  =t・・・(1)
  ここに上の「始点のつけかえルール」を適用すると、
  =(1-t)+t・・・(2)
  もちろん、(1),(2)は同値である。
[練習]・・・2直線の交点を求める。
ABCにおいて、ABの中点D、ACを2:1に内分する点をE、線分CDと線分BEの交点をPとするとき、CP:PD、BP:PEを求めよ。
- PがCD上にあることから、
  =s
- PがBE上にあることから、
  =t
- これらを「始点のつけかえルール」など、を用いて2個の1次独立ベクトルの1次結合で表現する。
  そんな方法は、ただ一通り（一意的に）しか存在しないはずだから、
  2個の1次独立ベクトルの係数は、それぞれ等しい！
- こうして「未知数2個」に対して「条件式2個」が得られるから、必ず、解ける。
空間ベクトルの「１次独立性」に関する重要な原則
空間内の任意の点を表す位置ベクトルは、

3個の１次独立なベクトルの、
１次結合によって、
ただ一通りに（一意的に）、
表現できる。

したがって、空間ベクトル問題の「処理手順」は、次のようになるだろう。

始点をどこにするか？、を決める。・・・例えばAとする。
3個の１次独立ベクトルを、選ぶ。・・・例えば,,とする。
他のすべてを表す位置ベクトルはこれらにたいして１次従属なのだから、
かならず、3個の「基底」の１次結合で表されるはずだ！
・・・例えば、=u+v+wのように。

だから空間ベクトルの基本図形は四面体なのである。四面体のどの2辺も、必ず1次独立である。直方体や立方体では、5番目以降の点は必ず1次従属である！

必要な「道具（ツール）」は、次のものだけ。
- 始点のつけかえルール
- 共線条件（3点が同一直線上にある条件）
- 共面条件（4点が同一平面上にある条件）
  - 同一直線上にない3点が与えられれば、それらを含む平面がただ1つ、決定する。
  - ここに新たな4点めが現れたとき、それがこの平面上にあるためには条件が必要だ。
  共面条件
  PがABCを含む平面上にあるならば、
  =u+v・・・(1)
  ここに上の「始点のつけかえルール」を適用すると、
  =(1-u-v)+u+v・・・(2)
  もちろん、(1),(2)は同値である。
[練習]・・・平面と直線の交点を求める。
四面体ABCDにおいて、BCDの重心G、ADの中点M、線分AGとBMCを含む平面との交点をPとするとき、AP:PGを求めよ。
- PがAG上にあることから、
  =w
- PがBMCを含む平面上にあることから、
  =u+v
- これらを「始点のつけかえルール」など、を用いて3個の1次独立ベクトルの1次結合で表現する。
  そんな方法は、ただ一通り（一意的に）しか存在しないはずだから、
  3個の1次独立ベクトルの係数は、それぞれ等しい！
- こうして「未知数3個」に対して「条件式3個」が得られるから、必ず、解ける。

内積について。

ここまでは、どんな三角形でも、どんな四面体でも、成り立つ話しかしてこなかった。
長さを問題にする場合でも、内分比のような相対的な値しか問題にしてこなかった。

形の特定された三角形、四面体、すなわち、角度や、絶対的な長さを問題にするには、「内積」の値、という新たな「情報」が必要になる。

平面ベクトルでは2個の1次独立な「基底」ですべてが表現できた。
それらの内積の可能な組み合わせは、3個しかない。
・・・例えば、「基底」が、、なら、
・、・、・

これは「三角形の合同条件」に対応している。「3辺相等」、「2辺夾角相等」、「2角夾辺相等」、いずれも「情報」は3個。「合同条件」というのは、この世にそのような三角形はただ一つしかない、という意味で、三角形の形が特定される条件なのである。

空間ベクトルでは3個の1次独立な「基底」ですべてが表現できた。
それらの内積の可能な組み合わせは、6個しかない。
・・・例えば、「基底」が、、、なら、
・、・、・
・、・、・

内積を用いる空間ベクトルに固有の「道具（ツール）」

平面 α と直線 l が「垂直である」とは、どういうことか？
- 直線 l が、平面 α に含まれる任意の直線と「垂直である」。
- ところで、平面 α に含まれる任意の直線上の任意のベクトルは、
  平面 α 上の、たった2個の1次独立ベクトルの1次結合で、
  表現される！、だから、
直線 l が、平面 α に含まれる2個の1次独立ベクトルと「垂直」であればよい。

[練習]・・・三角形の4心のうち、「重心」のみは、三角形の形に関わらず同じ式で表される。すなわち「内積」を必要としない。
「外心」、「内心」、「垂心」はいずれも、三角形の形状が特定されない限り、場所を特定することが出来ない。すなわち「内積」を必要とする。
ABCにおいて、AB=AC=2、BC=3とする。重心G、外心O、内心I、垂心Hとするとき、
、、、を、で表せ。
[練習]・・・四面体の頂点から、向かい合う面に下ろした垂線の足。
4点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,)を頂点とする四面体OABCについて、
OからABCを含む平面に下ろした垂線の足をHとするとき、
を、、で表せ。