で定義される数列{
a
n
}について
を示せ。
次の不等式を満たす
r
を1つ求めよ。ただし、
とする。
数列{
a
n
}の極限値を求めよ。
任意の自然数
n
に対して
が成り立つことを示したい。;数学的帰納法による。
n
のとき、
a
1
=3であるから、成り立つ。
n
=
k
のとき、
と仮定する。
n
=
k
+1のときも成り立つ。
i,iiより、任意の自然数
n
に対して
が成り立つ。
任意の自然数
n
に対して
が成立するような
r
の範囲を定めたい。
であるから、
一方、任意の自然数
n
に対して
であるから、
したがって
r
は、
でなければならない。
一方、
であるから、
r
はこの範囲の任意の数であるから、
とする。
すなわち、
ここに、
となる数列{
b
n
}を考えれば、
任意の自然数
n
に対して、
である。
したがって、
また、
であるから、
ここで、
であるから、「はさみうちの原理」より、
を示せ。
とする。
で定義される数列{an}について
を示せ。
とする。
が成り立つことを示したい。;数学的帰納法による。
と仮定する。
が成り立つ。
が成立するようなrの範囲を定めたい。
であるから、
であるから、
でなければならない。
であるから、
とする。
となる数列{bn}を考えれば、
である。
であるから、
