で定義される数列{an}について
  1.   を示せ。
  2. 次の不等式を満たすrを1つ求めよ。ただし、    とする。

  3. 数列{an}の極限値を求めよ。

  1. 任意の自然数nに対して    が成り立つことを示したい。;数学的帰納法による。
    1. nのとき、a1=3であるから、成り立つ。
    2. n=kのとき、    と仮定する。

      n=k+1のときも成り立つ。
    i,iiより、任意の自然数nに対して    が成り立つ。
  2. 任意の自然数nに対して    が成立するようなrの範囲を定めたい。

      であるから、

    一方、任意の自然数nに対して    であるから、

    したがってrは、    でなければならない。
    一方、    であるから、

    rはこの範囲の任意の数であるから、    とする。
  3. すなわち、  
    ここに、    となる数列{bn}を考えれば、
    任意の自然数nに対して、    である。

    したがって、

    また、    であるから、

    ここで、

    であるから、「はさみうちの原理」より、