• xのn次多項式f(x)を考える。これを順次、n回微分することで、各項の係数a_nを決定することが出来る。
  
  すなわち、
  
  であるから、
  
  ということは、ある関数が、無限回微分可能であるとき、これを、n次多項式で「近似」出来ることがわかる。上のnはどこまでも引き延ばすことが出来るから、どこか「途中でやめた」とすれば、それは、「本当の値」とは、少しだけずれてしまうことになるからだ。こういうのを「テーラー級数展開」、または「マクローリン級数展開」による近似と呼ぶ。
  
  
• f(x)=e^xについて、マクローリン級数展開をほどこすと、
  
  
  であるから、第n項(k=0,1,2,・・・n-1)までをとると、
  
  
  となる。

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したがって、この問題で、f_n(x)と呼ばれているのは、無限級数でしか表せないはずの、e^xを有限項、第n項までの多項式で｢近似｣した際の、｢誤差｣を表している。微分積分学では、これを｢ラグランジュの剰余項｣と呼んでいる！



上式の二つめの{}が、その姿を表している。その部分を取り出して、次のように変形してみると、



ここで、



であるから、



右辺は、無限項まで続く限り(！)、e^xに等しいから、



が得られる。一方、左辺は、x0に対して、正または0である。

さらに、上式にx=1を代入してみると、これは自然対数の底(ネイピア数)の近似式であって、



これを第n項までで止めたときの、｢誤差｣が、f_n(1)なのであるから、nを無限にすれば0に収束するのは、それは｢理の当然｣なのであった。

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ちなみに｢ネイピア数｣の級数展開による近似値は、こんな感じで、とても収束が速く、第8項くらいで十分に使い物になる値である。

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この問題は、このようにして(笑)作成された。でも、高校生が、こんな答案を書くわけにはいかないから、何も知らない振りをして、｢数学的帰納法｣などを用いて、解くことになる。 。

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• [1]
    ・・・(*)
  
  であることを示したい。
  1. n=1のとき
     
     
     
     成立する。
  2. n=kのとき、(*)が成立すると仮定する、すなわち、
     
     
     
     と仮定する。
     
     
     
     となり、n=k+1のときも成立する。
  i,iiより、n=1,2,3,・・・に対して、(*)が成立する。

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• [2]
  まず、
    ・・・(1)
  である。
  
  (ア)  x0に対して、f_n(x)0      (n=1,2,3,・・・)を示したい。
  1. n=1のとき、f₁(x)=e^x-1  であるから、
     x0に対して、e^x-10  
     成立する。
  2. n=kのとき、x0に対して、f_k(x)0  と仮定する。
       ・・・(2)
     (1)式と、仮定より、、
       ・・・(3)
     (2)(3)式より、
     x0に対して、f_k+1(x)0  
     となり、n=k+1のときも成立する。
  i,iiより、x0に対して、f_n(x)0    (n=1,2,3,・・・)  が成立する。
  (イ)  x0に対して、      (n=1,2,3,・・・)を示したい。
    とおく。
  1. n=1のとき
     
  2. n=kのとき
     
     と仮定する。
     
     であるから、
       ・・・(4)
     また、
     
     であるから、仮定より、  x0に対して、
       ・・・(5)
     
     (4)(5)式より、
     x0に対して、g_k+1(x)0  
     となり、n=k+1のときも成立する。
     
  i,iiより、  x0に対して、      (n=1,2,3,・・・)が成立する。

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• [3]
  [2]より、
  
  であるから、
  
  ここで、
  
  であるから、｢はさみうちの原理｣より、