2項の場合
実数
a
,
b
,
c
,
d
に対して、
[証明]
∵
a
,
b
,
c
,
d
は、実数だから。
2次元ベクトル形式(内積を用いて)
すなわち、
[証明]
,
のなす角を
θ
とすると、
等号成立は、
|
|=0、すなわち、
=
、または、
|
|=0、すなわち、
=
、または、
cos
θ
=
1、すなわち、
θ
=
n
π
(
n
は整数)、
すなわち、
,
が「1次従属」であるとき。
2次元ベクトル形式(外積を用いて)
ベクトルの外積
ベクトル
a
,
b
のなす角を
θ
とすると、
ただし、
n
は、
a
が
b
に重なるように最小の角度で回転したとき、
その回転を右ねじの回転とみなして、右ねじの進む方向の単位ベクトル
x
,
y
,
z
各方向の単位ベクトルをそれぞれ
i
,
j
,
k
とすると、
とすると、
右辺は、
a
,
b
をそれぞれ行ベクトルとする2次の正方行列
の行列式であるから、
k
は単位ベクトルであるから、
したがって、上の証明は、外積を用いれば、次のように書くことができる。
等号成立は、
|
a
|=0、すなわち
a
=
o
、または、
|
b
|=0、すなわち
b
=
o
、または、
sin
θ
=0 すなわち、
θ
=
n
π
(
n
は整数)、
すなわち、
a
,
b
が「1次従属」であるとき。
3項の場合
[証明]
3次元ベクトルについては、
等号成立は、
|
a
|=0、すなわち
a
=
o
、または、
|
b
|=0、すなわち
b
=
o
、または、
sin
θ
=0 すなわち、
θ
=
n
π
(
n
は整数)、
すなわち、
a
,
b
が「1次従属」であるとき。
n
項の場合
[証明1]
右辺は、
に対して、
であるすべての組み合わせについて、
となる
n
(
n
-1)項をを加算したものであるから、正または0である。
等号成立は、すべての
に対して、
であるとき、
すなわち、
としたとき、
等号成立は、
|
a
|=0、すなわち
a
=
o
、または、
|
b
|=0、すなわち
b
=
o
、または、
a
,
b
のなす角
θ
に対してsin
θ
=0 すなわち、
θ
=
n
π
(
n
は整数)、
すなわち、
a
,
b
が1次従属であるときである。
[証明2]
n
=1のとき
成立する。
n
=
m
のとき
と仮定する。
とおくと、仮定より
であるから、
に対して、
のとき、
のとき、
であるから、「相加平均・相乗平均の関係」より、
また、仮定より、
すなわち、
したがって、
また、
であるから、
よって、
等号成立は、
かつ、
すなわち、
かつ、
以上から
n
=
m
+1のときも成立する。
i,iiにより、任意の自然数
n
に対して成立する。
積分形
で連続な関数、
f
(
x
),
g
(
x
)に対して、
[証明]
とおく。
であるから、
すなわち、
ここで、
であるから、
のとき
任意の
x
に対して、
すなわち、
となるから、このとき、
である。
のとき
以上、いずれの場合も示された。
f
(
x
),
g
(
x
)を多項式とするとき、次のことを証明せよ。
ならば、
省略
1で、任意の
x
に対して
f
(
x
)=1のとき、
2より、
8
8
8