• x,yの2次式、すなわち、
  
  で表される曲線群は、｢2次曲線｣と呼ばれ、
  円、楕円、放物線、双曲線、直線、など、さまざまな図形をあらわすことが知られている。
• これらの図形は、下の図のような、無限に広がる円錐の側面を、ある平面で切った切り口として、ことごとく表されることから、
  ｢円錐曲線｣とも呼ばれる。
  • まず、円錐の底面に平行な平面で切ると、円が得られる。
  • この平面を少し傾けていくと、まず、さまざまな楕円となり、
  • ちょうどその平面から最も近い円錐の｢母線｣と平行になったとき、楕円は｢千切れ｣、一か所だけ放物線となる瞬間がある。
  • ここからさらに傾けていくと、平面が円錐の底面と垂直になるにいたるまで、さまざまな双曲線が得られる。
    もし、円錐の中心軸上の点を中心に平面を傾けていたのなら、双曲線は、最後には互いに交わる2直線となる。
  
  
  

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  ここでは、
  1. 円錐の中心軸上の点を中心に平面を、底面に平行な状態から、底面に垂直な状態に至るまで、順次傾けていったとき切り口として得られる図形の方程式
  2. xyの項を含む2次曲線の式を、1次変換によって、これを含まない式に変形する方法
  3. ｢円錐曲線｣を、定点(焦点)との距離の定直線(準線)への距離に対する比(｢離心率｣という)、によって分類し、統一的な式で表現する方法、その極座標形式
  4. ｢円錐曲線｣の例として、万有引力によって運動する惑星の軌道が、円、楕円、放物線、の各2次曲線によって表現されること
  について考えることにする。

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円	円
楕円	楕円

放物線	放物線
双曲線	双曲線

xy平面上の、原点中心、半径aの円を底面とし、(0,0,b)を頂点とする円錐Vを考える。
(a0,b0)

Q(acosθ,asinθ,0)    (0θ2π)
R(0,0,b)
とすると、円錐の側面上の任意の点Pは、
=t    (tは任意の実数)
と表すことができる。
したがって、

次に、原点を通り、yz平面上の単位ベクトル

を法ベクトルとする平面αを考える。
αの方程式は、
すなわち、
α  :  
である。

Vとαとの交線を求めたい。
をに代入して、

すなわち、

tについて解くと、

よって、

次に、平面α上に、次のようなXY座標をとる。すなわち、

• X軸は、x軸である。
• y軸を平面αに投影したものがY軸である。

yz平面上の点(y,z)は、Y軸上の ycosφ-zsinφ に投影される。
すなわち、変換、 において、 である。すなわち、

平面αを決定すれば、φは決まる。定数φに対して、θを媒介変数とするXY平面上の曲線が、Vのαによる切り口である。

θを消去する。

これは、cosθ,sinθに関する連立1次方程式であるから、


こうして、

・・・(1)
が得られた。
ここで、Y²の係数について、分類する必要が生じる。

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1. のとき
   すなわち、
   
   これは、母線に平行な平面αで切る場合にあたる。
   
   これは、放物線である。
   

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2. のとき
   
   
   
   
   これは、楕円である。

   中心
   短半径
   長半径

   
   (特にφ=0のとき、中心(0,0),半径aの円である。)
   
   

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3. のとき
   
   
   
   これは、双曲線である。

   中心

   
   漸近線の傾き
   
   したがって漸近線の方程式は、
   
   
   
   
   この式の左辺は、φ→π/2で、次のようになるから、
   
   円錐の底面の中心を通り、底面に垂直な平面で切った場合、双曲線は、次のような2直線に収束する。
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   X軸との交点
   
   
   Y軸との交点
   
   
   
   
   
   
   特にφ=π/2のとき、2直線を表す。
   

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