琉球大学(理系)2009、第3問

• 問1
  部分積分、
  
  により、
  
• 問2
  f(x)=xlogxとおくと、
  
  であるから、x≧e^-1で、f(x)は単調増加、
  したがって、x≧1で、f(x)は単調増加、
  よって、k=1,2,3,・・・、に対して、
  
  すなわち、
  
  
  ・・・(1)
  ・・・(2)
  
  (1)より、
  
  (2)より、
  
  ここで右辺に、m=k+1なる変数変換をほどこすと、
  
  であるから、
  
  ふたたび変数をkに戻し、
  
  よって、示された。
• 問3
  
  とおくと、
  
  問2の結果より、
  
  ここで、
  
  であるから、「はさみうちの原理」より、
  
  したがって、
  

琉球大学(理系)2009、第2問

• 問1
  以下のような置換積分によって、
  
  ここで、
  0＜a＜1だから、
  したがって、に対して、|cosθ|=cosθ
  
  
• 問2
  
  ここでは、πa/2=tなる変数変換をほどこし、を用いた。
• 問3
  上と同様の置換積分により、自然数nに対して、
  
  
  ここで、のグラフを描いてみると、は、以下の色を付けた部分の面積である。
  

  nが偶数のとき(n=10)	nが奇数のとき(n=11)

  
  ところで、
  
  であるから、下図の色を付けた部分の面積は、1であり、
  曲線下の面積は、nが偶数であるか奇数であるかにかかわらず、n×1であることがわかる。
  よって、