楕円と、点(2,0)を通る直線が、二つの異なる交点P,Qをもつとき、PQの中点Mの軌跡を求めよ。

(1),(2)が2つの異なる交点を有することから、xについての以下の2次方程式、


の、「判別式」が正であるから、

(3)の2つの解をα、βとおくと、

ここで、P、Q、および、PQの中点Mは、

と書けるから、M(X,Y)とすると、

ここで、X、Yから、tを消去したいのであるが、そのために分母の2次式が消えるように、X/Yなる、新たな「変数」を考案する(変数結合法)。

この新たな「変数」X/Yと、Yから、tを消去する。

ここで、恒等的にY=0であることはないから、

Mの軌跡は、このような楕円上にあることがわかった。次に、軌跡の限界を定める。

であったから、これを、Xの範囲に読み替えなければならない。


よって求める軌跡は、