センター数学IIB・統計資料の整理(2008追試験・2009本試験)・問題と解説

(2008追5)
(2009本5)

[解答・解説]

- (1)
  選択肢の｢ヒストグラム｣から、「度数分布表」を復元してみる。
  もちろん、｢ヒストグラム｣からは10点ごとの「階級値」しかわからないのだから、ここからもとのデータの「平均値」、「中央値」、「標準偏差」などを、正確に計算することは、できない。
  どの｢ヒストグラム｣がどの「組」に当たるのか?、の見当をつけるには、「人数」、「中央値」で充分だろう。
  - さらに確認のために、「標準偏差」について、検討してみよう。
    - 「標準偏差」は「分散」の平方根。
    - 「分散」は、「『偏差』の2乗の平均」であった。
    - どちらも、分布の広がりの度合いを示し、値が大きいほど、広がりが大きい。
    - 特に「標準偏差」の表す数値は、「点数」の単位を持っており、理論上、「無限」のデータを仮定(正規分布)すれば、「平均値プラスマイナス１標準偏差」の範囲に約68パーセントのデータが入ることになる。
    などということを考慮すると、ヒストグラム(1)(2)のようななだらかな分布では「標準偏差」は大きく、ヒストグラム(0)(3)のようなとがった分布では「標準偏差」は小さい、と予想できる。
- (2)
  A組と予想される「ヒストグラム(2)」をみると、確かに、20～30に1人、30～40に4人、計5人の40点未満がいる。これらがすべて一律40点になったのだから、クラス全体の合計点は、その分だけ増え、平均値も大きくなるだろう。
  「最終評価」の平均値は、
- (3)
  - 上の表で見たように、A組の上から第10位は、50～60の階級、第11位は、40～50の階級にいる。
    これら二人の点数の平均が、「中央値」49.0だったわけで、さらにこの二人の「差」が4点であったというから、それぞれの点数をx,yとすれば、
    
    と、二人の点数がわかってしまった。
  - 欠席者が一人を加えると人数は21人になるから、その「中央値」は、第11位の生徒の点数そのものを採用することになる。
  - 欠席者が75点という、もとの「中央値」よりも高い点数を取ったのだから、もともと第10位だった生徒が第11位となるはずだ。
    だから、もと第10位だった生徒の点数、51点が新しい「中央値」となる。
- (4)
  - (1)で作った｢度数分布表｣のB組について、20点区切りにまとめなおしてみると
  - 今度は、各相関図の「横軸」が1回目の成績を表しているのだから、その区分にしたがって、点の個数を読み取っていくと、印刷の加減ではっきりしないものもあるが、
    
    となるだろう。
    したがって、｢相関図(0)｣、｢相関図(1)｣、｢相関図(2)｣に絞られる。
  - 各相関図の｢縦軸｣に着目する。
    残念ながら、平均値78.0も、中央値79.0も、どれも当たっていそうで、決め手にならない。
    
    ｢標準偏差5.0｣を手がかりにするしか、ない。
    (1)で説明したように、
    「標準偏差」の表す数値は、「点数」の単位を持っており、理論上、「無限」のデータを仮定(正規分布)すれば、「平均値プラスマイナス１標準偏差」の範囲に約68パーセントのデータが入ることになる、
    ことを意味するから、この場合、5.0というのはかなり小さな値、かなりとがった分布、と考えるべきだろう。
    だから、｢相関図(1)｣。
- (5)
  問題文にかかれてあるとおり、｢分散s²｣は、(2乗の平均)-(平均の2乗)、
  
  また、｢分散s²｣は｢標準偏差s｣の2乗であるから、
  - C組は人数30、平均値70、標準偏差10、
    
    全員の点数の合計は、
    
    だから、全員の点数の2乗の平均は、
    
    全員の点数の2乗の合計は、
  - D組は人数20、平均値60、標準偏差24、
    
    全員の点数の合計は、
    
    だから、全員の点数の2乗の平均は、
    
    全員の点数の2乗の合計は、
  - C,D二組合わせた50人の平均は、
    
    C,D二組合わせた50人の点数の2乗の平均は、
    
    したがって、C,D二組合わせた50人の分散は、

与えられたデータについて、班ごとについても、合計、平均を求める表を作ってみた。

(1)
- １回目の数学、I班の平均値は、48.0
- II班の１番目の生徒の数学の点数をAとおくと
(2)
- II班の1回目の数学と英語の相関係数を、｢定義式｣によって計算する。
  
  分散     偏差の｢2乗｣の平均
  
  標準偏差     分散の平方根
  
  共分散     偏差の｢積｣の平均
  
  相関係数     共分散/(標準偏差の｢積｣)
  であるから、通常、
  - ｢相関係数｣を求めるには、
  - ｢標準偏差｣を求めなければならず、そのためには、
  - 平方根の計算が必要になるのだが、
  センターテストの出題者は電卓がなくても計算できるように、いろいろ工夫をする。
  
  この問題で、数学と英語の分散が｢ともに101.2であった｣、というわざとらしい設定もその一つで、
  - 数学の標準偏差が101.2の平方根で、
  - 英語の標準偏差も101.2の平方根なら、
  - その｢積｣は、ふたたび101.2だから、共分散をこれで割ればよい、
  ことになる。
  数学の分散は、
  
  英語の分散は、
  
  共分散は、
  
  したがって、相関係数は、
  
  以上を表にまとめると、

(3)

10人のデータの｢中央値｣であるから、第5位と第6位の生徒の点数の平均点を採用することになる。
Bを除く9人のデータでは、
第5位が50点、第6位が48点。

Bが55点より高い得点を取れば、順位がずれて、
第5位が55点、第6位が55点となり、
中央値はこれらの平均。52.5
Bがちょうど55点なら、第4位5位が同順、
第4,5位が55点、第6位が50点となり、
中央値はこれらの平均。52.5
Bが48点より低い得点を取れば、そのまま
第5位が50点、第6位が48点だから、
中央値はこれらの平均。49.0
Bがちょうど48点なら、第6位7位が同順、
第5位が50点、第6,7位が48点となり、
中央値はこれらの平均。49.0
Bの得点が、これら以外、
すなわち、54,53,52,51,50,49点のときは、
それぞれ平均すべき一方が、B自身の得点だから、値が変わってくる。
詳細は、左の表参照。

結局、全部で8通りの値がありうることになる。

(4)
- 2回目の数学の得点について、I班の平均値がII班の平均値より4.6大きいことから、
- 表には、2回目の数学のクラス全体の平均58.9が与えられているから、
  ここからC,Dの得点を計算できる。参考までに。
  
  よって、
  
  こうして、A,B,C,Dすべてわかったので、表にまとめておく。
(5)
- わずか10個のデータであるから、表を見ながら、散布図に該当する｢点｣が存在するかどうかを、いちいちチェックしていけば、かならず、当たる。
- グラフから、1回目、2回目ともに、｢正の相関｣があるといえるが、
  - 1回目の方はかなり｢弱い相関｣で、
  - 2回目の方はそれよりは｢強い相関｣、
  ということもわかるだろう。
- (参考までに、｢実用式｣で｢相関係数｣の計算をした表をあげておく)
(6)
- 合計点に変化がないから、平均点は変わらないが、
- データが平均点のまわりに、より密に集まることになるから、分散は小さくなる。

分散	偏差の｢2乗｣の平均
標準偏差	分散の平方根
共分散	偏差の｢積｣の平均
相関係数	共分散/(標準偏差の｢積｣)