統計資料の整理(分散・標準偏差・共分散・相関係数)

• 「分散」と「標準偏差」
  
  ｢分布の広がり｣を示す指標。
  たとえば、平均点が60点のテストで、あなたが70点を取ったとしよう。それは確かに｢偉い！｣ことに違いない。でも、その｢偉さ｣は、他の受験者の点の取り方、すなわち点数の｢分布｣によって異なる。
  
  左のグラフのように、平均点の周りに大多数の受験者が集まっているような分布では、平均点より｢10点も｣上回ったあなたは、｢とても・偉い｣。
  しかし、右のグラフのように、同じ平均点でも0点から100点までなだらかな勾配で広がっているような分布だったら、平均点より、｢10点くらい」上回っている人はざらにいるのだから、「そんなに・偉くない｣ことになる。
  
  したがって、あなたの｢偉さ｣を評価するには、｢平均点｣以外に、このような｢分布の広がり｣を示す指標が必要だ。
  それぞれの受験者の得点が、平均点とどれほど隔たっているか(「偏差」)、その絶対値の合計が大きいほど、｢分布の広がり｣は大きい、といえる。
  
  ｢分散｣・｢標準偏差｣は、このようにして考案された。
  

  分散・標準偏差
  小さい	大きい
  平均値の周りに多くのデータが密集した、「シャープな」分布	平均値から離れたところにも多くのデータが存在する、「ゆるやかな」分布

  
  
  

  分散	定義式	実用式
  	｢偏差｣の｢2乗｣の｢平均｣	「2乗の平均」-「平均の2乗」
  標準偏差	｢分散｣の正の｢平方根｣

  
  
  
• 「共分散」と「相関係数」
  
  2つの変量の、｢関係の傾向｣と｢関係の強さ｣を同時に示す指標。
  たとえばある特定の100人の人間を対象として調査をしたとしよう。この100人のことを｢標本(サンプル)｣という。個々の「人」には、当然さまざまに異なる性質(属性)があるのだが、｢人｣と｢人｣を比較するには、その｢属性｣が、｢数値化｣されていなければならない。｢よい人｣、｢悪い人｣というのも結構だが、｢どのくらい｣よいのか悪いのかが示されなければ、少なくとも、比較はできない。
  
  さて、このようにして｢数値化｣された｢属性｣、たとえば、｢年齢｣、｢身長｣、｢体重｣、｢体脂肪率｣、｢年収｣、｢資産額｣、、｢腕立て伏せの回数｣、｢国語の点数｣、｢数学の点数｣、などのうち、たった二つのものの｢関係｣を調べたいとしよう。
  
  「二つ」であるのはもちろん理由がある。私たちは｢3次元空間｣に生きていると信じているが、実際は、その3次元の外的空間を、網膜という2次元平面に投影した図象として把握している。したがって、人間は物事の「関係」や「傾向」について、原則として2個の｢属性｣間の関係しか、捉えることができない。
  
  このようにして選ばれ、数値化された2個の｢属性｣をそれぞれ｢変量x」、｢変量y」と呼ぼう。この調査結果を、xy平面上にプロットしてみると、一人ひとりのサンプルはそれぞれ｢変量x」、｢変量y」の値を持つから、点(x,y)に対応する。こうして、xy平面上にサンプルの個数100個分の点が打たれた図面が出来上がる。これを「散布図」、「相関図｣などと呼ぶ。
  
  散布図の上に並んだ点のかたまりが、おおよそどのような形をしているかによって、2つの変量の｢関係の傾向｣および｢関係の強さ｣を見ることができる。
  残念ながら人間はそれほど精度の高い分析機械ではないから、｢傾向｣と言ったって、もっとも単純な直線関係(比例関係)しか見て取ることができない。
  
  

  この直線の傾きが｢正｣すなわち、｢右上がり｣の直線なら、「xが増えればyも増える」という傾向があるといえる。これを｢正の相関がある｣という。 この直線の傾きが｢負｣すなわち、｢右下がり｣の直線なら、「xが増えればyは減る」という傾向があるといえる。これを｢負の相関がある｣という。 この直線の傾きが｢0｣すなわち、xに平行な直線なら、「xが増えても減っても、yは変わらない」という傾向があるといえる。これを｢相関がない｣という。

  
  
  

  正の相関	負の相関	無相関

  
  
  
  
  次に｢相関の強さ｣について考える。サンプルを表す点が、仮に同じ傾きの直線を中心に集まっていたとしても、｢集まり方の度合い｣によって評価は異なってくる。
  多くの点が、直線の周りに密集して集まっていたならは、2つの変量xyの間の直線関係は、より明瞭なものだといえるだろう。
  しかし、同じ直線が引けたとしても、多くの点がまばらに集まっているに過ぎないならば、2つの変量xyの間の直線関係は、かなりあいまいなものだとしか言えない。
  これが、｢相関の強さ｣の問題である。
  
  後から詳しく説明するように、｢すべての点から最も近い直線(回帰直線)」を、｢最小2乗法｣と呼ばれる数学的手法で、必ず求めることができる。回帰直線の傾き(回帰係数)の正負が、｢相関の正負｣を決める。
  次に求められた直線(回帰直線)と、各点の間の距離の合計の数値から、｢相関の強さ｣が決められる。
  これら二つの要素を、ひとつの数値で表現しているのが、｢相関係数｣である。
  
  

  相関係数 -1≦r≦1
  -1≦r＜0	r=0	0＜r≦1
  負の相関 -1に近いほど、｢強い｣負の相関	相関がない	正の相関 1に近いほど、｢強い｣正の相関

  
  

  強い『正』の相関 相関係数 0.81	弱い『正』の相関 相関係数 0.41

  強い『負』の相関 相関係数 -0.82	弱い『負』の相関 相関係数 -0.43

  
  

  共分散	定義式	実用式
  	｢偏差｣の｢積｣の｢平均｣	「積の平均」-「平均の積」
  相関係数	｢共分散｣÷｢標準偏差の積｣

度数分布表・ヒストグラム・「メジアン」・「モード」

• 度数分布表
  変量のデータを「階級」に区分して、その「階級」含まれるデータ数（度数）を集計したもの。
  体重・身長など、変量が「連続変量」である場合、平均などの統計値の計算には、「階級値」（階級の両端の値の平均）を用いる。
  
  
• ヒストグラム
  度数分布表を、棒グラフなどで表現したもの。
  
  
• さまざまな代表値
  
  
  • 平均(mean)
    
    
  • メジアン（median:中央値）
    全データを「昇順」に（小さいものから順番に）並べたとき、ちょうど真ん中の値。データ数が偶数のときは、「真ん中」が2つあることになるから、その平均。
    
    
  • モード（mode:最頻値）
    度数分布表で、最も「度数」が高い「階級」の「階級値」。
    
    
  このように、集団の特性を「代表」する値にはいくつかあるが、たとえば、とんでもない「異常値」がデータの中に含まれているとき、「平均」より「メジアン」や「モード」のほうが、その異常値の影響を受けることが少なく、よりすぐれた代表値となる。