行列

• 行列
  横に並んだ成分を「行(row)」、縦に並んだ成分を「列(colum)」と呼ぶ
  
  
  
• 行列の演算
  1. 加法・減法
     対応する成分同士の加減
     
  2. 乗法
     左側の行列の「行ベクトル」と、右側の行列の「列ベクトル」との「内積」
     
     行列の乗法には一般に「交換法則」が成り立たない
     • A,Bのいずれかが、単位行列の定数倍、もしくは零行列のときは、乗法に関する交換法則が成り立つ。AE=EA=A,AO=OA=O
     • Aが単位行列の定数倍でないとき、乗法に関する交換法則AB=BAが成立するための必要十分条件は、B=uA+vEとかけることである。[補1]
  
  
  
• 零行列と単位行列
  1. 零行列
     
  2. 単位行列
     
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 逆行列
  1. 逆行列の定義
     AB=BA=EをみたすBが「存在するとき」、これをAの「逆行列」と呼び、「A^-1」とかく。
     
     AB=Eの場合について、計算経過を示す。BA=Eについても同様である。
     
     ここで、ad-bcが0でないとすると、
     
     このようにしてAの逆行列が求められた。ちなみに、割り算の過程で、aが0でないこと、またはcが0でないことを仮定したが、それぞれが0の場合も以下のように求められ、その結果は上の(5)式に含まれる。a,cがともに0である場合はad-bcが0でないことに反する。
     
     ここからわかるように、ad-bcが0でないときのみ、逆行列が計算できる。
     のちに示すように、Aが逆行列を持つ「必要十分条件」はad-bcが0でないことである。
     
     
  2. 逆行列を持つ行列（正則行列）と逆行列を持たない行列（非正則行列）
     このように、ad-bcは、ある行列が逆行列をもつか否かの「判別式」として機能する。これを「行列式」と呼び、｜A｜、detAと書いたりする。
     
     逆行列をもつ行列、すなわちad-bcが0でない行列を、「正則行列」、逆行列をもたない行列、すなわちad-bcが0である行列を、「非正則行列」と呼ぶ。
     
     ここで、ad-bc=0でない、ということを、もう少し別の観点から考える。
     
     
     1. ベクトルの「1次独立性」（2次元・平面ベクトル）
        1. 互いに平行でなく、
        2. いずれも0ベクトルでない、
        2個の2次元ベクトルを、それぞれ「1次独立」である、という。

        平面上の任意の点を表す位置ベクトルは、2個の1次独立なベクトルの「1次結合（線形結合）：定数倍と加法のみであらわされる形式」で、ただ一通りに（一意的に）表現できる。

        すなわち、以下の式で、平面上の任意の点Pに対して、uとvはかならず一組だけ存在する。
        
        「独立」とは、互いに他を自分の定数倍で表現できない、という意味であり、1次独立でないことを「1次従属」と呼ぶ。1次従属とは、
        1. 互いに平行であるか、または、
        2. いずれかが0ベクトルである
        ことである。一方が0ベクトルであれば、それはかならず他方の0倍として表現できる。
        
        
     2. ad-bc=0でない、ということは、列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)が「1次独立である」ということと同値（必要十分条件の関係）である。
        1. 「十分条件」：ad-bc=0でないならば、列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次独立である。
           「対偶」：列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次従属であるならば、ad-bc=0である。
           
        2. 「必要条件」：列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)が1次独立であるならば、ad-bc=0でない。
           「対偶」：ad-bc=0であるならば、列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次従属である。
           
        
        
        
     3. Aが逆行列を持つ「必要十分条件」はad-bcが0でない、すなわち、Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次独立であることである、ことを証明する。
        
        
        
        1. 「十分条件」：Aが逆行列を持つならば、Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次独立である。
           「対偶」：Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)が1次従属であるならば、Aは逆行列を持たない。
           
           (a,c)が0ベクトルならば、bsとdrがいずれも0であり、かつ、brとdsがいずれも0でない、という矛盾に陥る。従ってAB=EをみたすBは存在しない。BA=Eについても同様。また(b,d)が0ベクトルの場合も同様。
           
           (a,c)が(b,d)の定数倍で表されるならば、やはり矛盾に陥る。従ってAB=EをみたすBは存在しない。BA=Eについても同様。
           
           
        2. 「必要条件」：Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)が1次独立であるならば、Aは逆行列を持つ。
           Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)が1次独立であるならば、ad-bc=0でない。
           ad-bc=0でないならば、
           
           でしめされる、BがAB=BA=Eをみたすので、Aの逆行列である。
        
        
        

        Aが逆行列を持つ「必要十分条件」はad-bcが0でない、すなわち、Aの列ベクトル(a,c)と列ベクトル(b,d)は1次独立であることである。

        
        行ベクトルについても、同様なことがいえる。

        Aが逆行列を持つ「必要十分条件」はad-bcが0でない、すなわち、Aの行ベクトル(a,b)と行ベクトル(c,d)は1次独立であることである。

  
  
  
• ハミルトン・ケーリーの定理
  • ハミルトン・ケーリーの定理
    任意の行列に対して、次の式が成立する。
    
    A²-(a+d)A+(ad-bc)E=O
    
    左辺の第3項の係数は、すでに見た「行列式」｜A｜、detAである。左辺の第2項の係数(a+d)は行列の「対角成分（左上から右下に向かって並ぶ成分）」の和であり、trace(A)などと呼ばれる。
    ハミルトン・ケーリー式は行列の2次式であるから、行列の次数を下げる機能をもつ。
    
    

    A2	=	(a+d)A-(ad-bc)E
    左辺・2次式		右辺・1次式

    
    
    
  • ハミルトン・ケーリーの定理の証明
    
    
    
  • では、ある行列について成立する2次式は、ハミルトン・ケーリー式だけなのだろうか？
    
    行列Aについて(1)式が成立するとする。ハミルトン・ケーリーの定理から、(2)式が成立する。両式からAの二乗の項を消去すると、(3)式が得られる。
    左辺の係数p+(a+d)が0ならば、左辺は零行列である。右辺は単位行列の定数倍であるから、これが零行列となるためには、右辺の係数q-(ad-bc)も0でなければならない。このとき、(1)式はハミルトン・ケーリー式に一致する。
    では、p+(a+d)が0でないならば、どうであろうか？(3)式より、Aは単位行列の定数倍となるから、b=c=0,a=dである。各成分を比較すると、
    
    つまり、行列Aについて式(1):A²+pA+qE=Oが成立するとき、
    この式の行列Aを変数xで置き換えた方程式：x²+px+q=Oの解に対して、
    行列A=xEは、かならず式(1)を満たす。
    別の見方をすると、Aが単位行列の定数倍、A=xEで表されるとき、
    xを解とする2次方程式：x²+px+q=0は無数に存在する。 これらのp,qに対して、無数の式(1)が存在する。
    
    [例題1] 次の式を満たす行列Aを求めよ。
    
  
  
  
• 「ハミルトン・ケーリーの定理」をもちいて、「Aが逆行列を持つ『必要十分条件』はad-bcが0でないこと」を証明する。
  
  
  
  • [十分条件]:Aが逆行列を持つならば、ad-bcは0でない。
    ｢背理法」(後述)によって証明する。
    Aが逆行列を持ち、かつad-bc=0であると仮定すると、矛盾にいたることを示す。
    
    ハミルトン・ケーリーの定理から、ad-bc=0のとき、
    A²-(a+d)A=O
    A²=(a+d)A
    
    Aは、逆行列A^-1をもつから、これを両辺に左からかけると、
    A^-1A²=(a+d)A^-1A
    A=(a+d)E
    
    ここで、a+d≠0とすると、Aは単位行列の定数倍であるから、ad-bc=0に反する。
    また、a+d=0とすると、Aは零行列であるから、逆行列を持つことに反する。
    こうして、いずれの場合も矛盾を生じ、Aが逆行列を持ち、かつad-bc=0であることがありえないことが示された。
    よって、Aが逆行列を持つならば、ad-bcは0でない。
    
    
    
    
    
  • [必要条件]:ad-bcが0でないならば、Aは逆行列を持つ。
    ad-bc=0でないならば、
    
    でしめされる、BがAB=BA=Eをみたすので、Aの逆行列である。
  
  
  
• 零因子
  積が零行列であるのに、それぞれ零行列ではない二つの行列を、相互に｢零因子｣と呼ぶ。
  
  
  
  1. 「零因子は逆行列を持たない」ことを証明する。
     
     
     
     • ｢背理法｣による証明
       「Aであるならば、Bである」ことを証明する代わりに、「Aであり、かつBでないことを仮定すると、矛盾を生じる」ことを証明する方法。

       AならばBである

       ←→

       AはBであるための十分条件である

       ←→

       ←→

       	集合Aが集合Bに｢包含｣されているとき、 「A」と「Bの補集合」は共通部分を持たない
       		←→

       
       
       
     • 「行列A,Bが零因子であるならば、A,Bはともに逆行列を持たない。」
       [背理法]「行列A,Bが零因子であり、かつ、A,Bのいずれかが逆行列を持つと仮定すると、矛盾を生じる。」
       
       であり、かつAが逆行列を持つと仮定する。Aの逆行列A^-1が存在するのであるから、これをAB=Oの両辺に左からかけると、
       
       B=Oとなり、仮定に反する。また、Bが逆行列を持つと仮定する。Bの逆行列B^-1が存在するのであるから、これをAB=Oの両辺に右からかけると、
       
       B=Oとなり、仮定に反する。
       こうして、いずれの場合も矛盾に陥った。矛盾に陥った原因は、「A,Bのいずれかが逆行列を持つ」と仮定したことにあるから、「A,Bはともに逆行列を持たない」ことが証明された。
     
     
     
  2. 零因子は、どのような行列であろうか？
     行列の積は、左側の行列の｢行ベクトル｣と右側の行列の｢列ベクトル｣との｢内積｣を各要素とするから、AB=Oならば、次のように書ける。
     
     これは、ベクトル(a,b)と(p,r)、(a,b)と(q,s)、(c,d)と(p,r)、(c,d)と(q,s)が、それぞれ｢直交｣していることを意味する。
     であるならば、ベクトル(a,b)と(c,d)、(p,r)と(q,s)は、それぞれ｢平行｣でなければならない。
     このことからも、Aの行ベクトル(a,b)と(c,d)、Bの列ベクトル(p,r)と(q,s)、はそれぞれ1次従属である、従って、A,Bはいずれも逆行列を持たないといえる。
     そこで、(c,d)が(a,b)の定数倍、(q,s)が(p,r)の定数倍として以下のように書けば、
     
     となり、与えられた行列A（任意のa,b,u、ただし、a,bは同時に0ではない）に対して、AB=0を満たす行列Bは、p,rはap+br=0を満たす任意の数であり、vはまったくの任意の数、として定められることがわかる。[補2]
     ちなみに、a,bがともに0であれば、Aは零行列であり、任意の行列Bに対してAB=0が成立する。もちろん、これらは零因子ではない。
     
     [例題2] 次の行列Aに対して、AB=Oを満たす行列Bを求めよ。
     
     
     
  3. 行列の2次式が、以下のように因数分解されたとしよう。｢解と係数の関係｣より以下のようにいえる。
     
     1. (A-αE)が零行列ならば、(A-βE)は任意であり、A=αEである。
     2. (A-βE)が零行列ならば、(A-αE)は任意であり、A=βEである。
     3. Aが単位行列Eの定数倍でないとき、(A-αE)、(A-βE)はいずれも零行列でない。このとき、この2次式は｢ハミルトン・ケーリー式｣に一致する。
        また、このとき、(A-αE)と(A-βE)は相互に零因子である。
        Aはa+d=-p,ad-bc=qを満たす任意の行列であり、 のちに述べるように、これらは、α,βを「固有値」とする行列である。
     
     
     [例題3] 次の式を満たす行列Aを求めよ。
     
  
  
  
• ベキ零行列
  それ自身は零行列ではないにもかかわらず、n乗すると零行列になる行列を「ベキ(冪)零行列」という。｢冪乗」とは、｢累乗｣、n乗のことである。
  
  
  
  
  1. 「ベキ零行列は逆行列をもたない」ことを証明する。
     [背理法]「Aがベキ零行列であり、かつ逆行列をもつと仮定すると、矛盾を生じる。」
     
     Aに逆行列が存在するならば、これを両辺に左から(右からでも)、n回かけて、
     
     E=Oとなり矛盾を生じた。従って、Aがベキ零行列であるならば、Aは逆行列を持たない。
     
     
  2. 「Aのn乗が零行列ならば、Aの2乗が零行列である」ことを証明する。
     • Aが零行列であるならば、当然A²=Oである。
     • Aが零行列でなく、かつ、Aⁿ=O、すなわちAが「ベキ零行列」であるとき、「Aがベキ零行列であるならば、Aは逆行列を持たない」から、ad-bc=0である。ハミルトン・ケーリー式より、Aのn乗は以下のようにかける。これが零行列であり、かつ、Aが零行列でないことから、a+d=0となり、再びハミルトン・ケーリー式より、Aの2乗が零行列であることが示される。
       
     
     
     
  3. では、ベキ零行列は、具体的にどんな形をしているのか？
     ベキ零行列では、逆行列が存在しないから、列ベクトル同士は1次従属である。
     
     
     [例題4] ベキ零行列の例を挙げよ。
  
  
  
• 連立1次方程式
  x,yを未知数とする2元連立1次方程式は、行列を用いて以下のように書ける。
  
  
  
  
  1. Aが逆行列を持つならば、これを両辺に左からかけると、
     
     となり、(x,y)はただ一組の解を持つ。
     
     
  2. Aが逆行列を持たないとき、Aの行ベクトル同士は、1次従属であるから、
     
     ここで、
     
     
     
     • p=0ならば、q=0となり、のちに述べる「連立1次『斉次』方程式｣の問題となる。
       
       
     • p=0でなく、q=upならば、
       
       となり、ax+by=pを満たす任意の数が、(x,y)の解となる。
       p=0でなく、u=0、従って、q=0のときも同様である。
       
       
     • p=0でなく、u=0でないuに対して、q=upと表わせないとき、
       
       これらを満たす(x,y)の解は存在しない。
  
  
  別の言い方をすると、
  1. (a,b)と(c,d)が1次独立であるとき、すなわち2式が直線を表し、その「法線ベクトル」(a,b)と(c,d)が、平行でないとき、2直線はただ1点で交わる。
  2. (a,b)と(c,d)が1次独立でないとき、いずれかが0ベクトルである場合を除き、2式は「平行」または「一致」の関係にある。
     • 「一致」の場合、共有点は無数に存在する。
     • 「平行」の場合、共有点は存在しない。
  
  
  [例題5] 次のx,yに関する連立1次方程式を解け。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 連立1次『斉次』方程式の「非自明解」問題
  
  連立1次方程式において、右辺の列ベクトルが零ベクトルであるようなものを、定数項(0次)を含まない、次数のそろった1次式であることから、「斉1次式」と呼ぶ。
  
  この連立1次方程式において、(x,y)=(0,0)は、明らかに解であるから、これを｢自明解｣とよぶ。
  
  (x,y)=(0,0)以外の解(これを｢非自明解｣と呼ぶ)をもつために係数行列Aが満たすべき条件を求める。
  
  
  
  1. Aが逆行列を持つならば、これを両辺に左からかけると、
     
     となり、(x,y)はただ一組の解(0,0)を持つことになる。
     
     
  2. Aが逆行列を持たないとき、Aの行ベクトル同士は、1次従属であるから、
     
     となり、ax+by=0を満たす任意の数が、解となる。この中には、当然(x,y)=(0,0)以外のものも含まれる。
  
  
  別の見方をすると、これら2式は、（行ベクトルが0ベクトルである場合を除き）いずれも原点を通る直線を表している。したがって、原点は、明らかにこれらの共有点である。
  1. 2直線の法線ベクトルが、1次独立なら、2直線は平行でないから、交点は原点のみである。
  2. 2直線の法線ベクトルが平行なら、2直線は一致するから、共有点は無数に存在する。
  
  
  

  連立1次『斉次』方程式が、(x,y)=(0,0)以外の解(非自明解)を持つための、必要十分条件は、係数行列Aが逆行列を持たない、ことである

  
  
  
  
  
• 固有値・固有ベクトル
  
  
  
  1. 固有値
     
     を満たす定数kを行列Aの「固有値」と呼ぶ。
     
     この｢連立1次斉次方程式｣が、(x,y)=(0,0)以外の解(非自明解)を持つのは、(A-kE)が逆行列を持たないときであるから、
     
     となる。これを行列Aの｢固有方程式｣と呼び、この2次方程式の解が｢固有値｣となる。固有方程式の係数は、｢ハミルトン・ケーリー式｣の係数と同じである。
     
     
  2. 固有ベクトル
     固有値をk₁,k₂(重解の場合も含む)としたとき、
     
     を満たす列ベクトル(x₁,y₁),(x₂,y₂)をそれぞれ、k₁,k₂に対応する「固有ベクトル」と呼ぶ。
     
     
  3. 行列の｢対角化｣
     二つの「固有ベクトル」を横に並べて行列を作れば、
     
     となり、行列Aが、その固有値を「対角成分」にもつ行列(｢対角行列｣という)と関連付けられたことになる。これを、行列の｢対角化｣という 。
     固有方程式が｢重解｣を持つとき、k₁,k₂は等しくなるので、対角行列Bは、単位行列の定数倍となる。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 行列のn乗
  1. n乗が簡単に求められる行列
     1. 零行列
     2. 単位行列
     3. 逆行列をもたない行列(非正則行列）
     4. 対角行列
     5. 上半三角行列
        
     
     
     
  2. ｢対角化」によるn乗の計算
     行列Aが、異なる二つの固有値k₁,k₂をもつとき、これらの固有値を対角成分にもつ行列B、それぞれに対応する固有ベクトルを列ベクトルとして横に並べた行列Pとの間に、次のような関係が成立する。
     
     
     ここから、Pが逆行列を持つときは、以下のようにしてAのn乗が計算できる。
     
     
     
  3. 「上半三角化」によるn乗の計算
     行列Aが固有値を一つしかもたないとき、すなわち、固有方程式が重解を持つとき、一つの固有値に対応する固有ベクトルは、互いに平行(1次従属)にならざるを得ないから、Pは逆行列を持たない。従って、対角化によるn乗はできない。
     そこで次のような方法を用いる。行列Aのただ一つの固有値をk、これに対応する固有ベクトルを(x₀,y₀)とする。
     行列Bとして、対角成分にkをとり、これをはさんだ上半分にのみ0以外の要素wがある行列(上半三角行列)を選ぶ。行列Pの右側の列ベクトル(u,v)はAP=PBが成り立つように、適当に決定する。（未知数u,v,wの3個に対し、条件式は2個だけであるから、無数の解が存在する。）
     
     こうして、行列Aが｢上半三角行列」Bと関連付けられ、Bのn乗からAのn乗が計算できる。
     
     唯一の固有値kが0であればこの方法は用いられないが、固有方程式が0の重解をもつときは、ハミルトン・ケーリー式から、Aの2乗が零行列、すなわちベキ零行列であるから、n乗も零行列である。
  
  
  [例題6]次の行列のn乗を求めよ。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• [補1]積に関する交換法則が成立するための条件
  Aが単位行列の定数倍でないとき、乗法に関する交換法則AB=BAが成立するための必要十分条件は、B=uA+vEとかけることである。
  1. 「十分条件」：AB=BAならば、B=uA+vEをみたすu,vが存在する。
     
     
     (1)が成立すれば(4)は自明である。(1)に関して、bが0かどうかについて以下のように場合わけして考える。
     また、次のようにおく。
     
     1. b=0のとき→c=0またはq=0
        1. b=c=0のとき
           
           1. d=aのとき
              A=aEすなわち、Aは単位行列の定数倍であるから、任意のBに対してAB=BAである。
           2. d=aでないとき
              
        2. b=q=0のとき
           (3)よりr(d-a)=c(s-p)
           c=0は上で検討済みだから、c=0でないとする。
           
     2. b=0でないとき
        
     以上から、Aが単位行列の定数倍である場合を除き、積に関する交換法則AB=BAが成立するならば、B=uA+vEをみたすu,vが存在することが証明された。
  2. 「必要条件」：B=uA+vEならば、AB=BAである。
     

  乗法に関する交換法則AB=BAが成立するための必要十分条件
  Aが単位行列の定数倍であるとき	任意のBに対してAB=BAが成立する
  Aが単位行列の定数倍でないとき	B=uA+vEをみたすu,vが存在する

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• [補2]零因子のいろいろな形
  
  
  
• [例題1の解答]
  
  ここで、
  1. Aが単位行列の定数倍でないとすると、a+d=1であり、左辺は零行列であるから、ad-bc=-6である。
     
  2. a+d=1でないとすると、Aは単位行列の定数倍であり、b=c=0かつa=d、すなわちA=aEである。
     
  
  
  
• [例題2の解答]
  (1)B=O
  
  p+2r=0を満たす任意の行列
  (3)任意の行列
  
  
• [例題3の解答]
  1. (A-3E)が零行列とすると、A=3E
  2. (A+2E)が零行列とすると、A=-2E
  3. (A-3E),(A+2E)いずれもが零行列でないとすると、これらは「零因子」
     Aはa+d=1,ad-bc=-6を満たす任意の行列である。
  
  
  
• [例題4の解答]
  
  
  
• [例題5の解答]
  係数行列の｢行列式｣を求めると、
  
  したがって、a=-1/2または、a=1のときこの行列は逆行列をもたない。
  逆行列を持たないとき、すなわち、まずa=-1/2のとき、
  
  このとき、これら両式を同時に満たす(x,y)は存在しない。
  次にa=1のとき、
  
  となり、2式は同値となった。
  したがって、(x,y)はx+y=1を満たす任意の数である。
  最後に、係数行列が逆行列を持つ場合、以下のようにただ一組の(x,y)が定まる。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• [例題6の解答]
  (1)
  
  
  
  
  
  
  
  (2)
  

1次変換

• 関数：xの値を定めると、これに対応するyの値がただ一つ定まるとき、「yはxの関数である」という。
  
  
• 写像：集合Aの各要素を、集合Bの｢ただ1つ｣の要素に対応付ける規則があるとき、これを「AからBへの写像」という。
  集合Aの要素aが集合Bの要素bに対応付けられるとき、b=f(a)と書き、「bをaの写像fによる像である」という。
  集合Aを写像fの｢定義域」と呼び、集合Aのすべての要素の写像fによる像の集合を、写像fの｢値域」と呼ぶ。
  
  
• 全射(上への写像)･単射(1対1対応)
  
  
  1. 一般に写像fの｢値域」は集合Bの部分集合であるが、これがBに等しいとき、すなわち、
     任意のBの要素yに対して、y=f(x)となるAの要素xが存在するとき、この写像fは｢全射である」または、「Bの上への写像である」という。
     
     
  2. Aに含まれる任意の互いに異なる2つの要素x₁,x₂に対して、これらの写像fによる像f(x₁),f(x₂)もまた互いに異なるとき、この写像fは｢単射である」または、「1対1対応の写像である」という。
     
     
  3. 写像fが全射でありかつ単射であるとき、この写像fは「全単射である」または「Bの上への1対1対応の写像である」という。
  
  
  
• 合成写像
  集合Aの要素aを集合Bの要素bに対応付ける写像f、集合Bの要素bを集合Cの要素cに対応付ける写像gがあり、これらがそれぞれ｢全射・上への写像｣であれば、すなわちfの値域がgの定義域に一致していれば、集合Aの要素aを集合Cの要素cに対応付ける写像が存在する。これを、fとgの｢合成写像｣と呼び、(g○f)(x)と書く。すなわち、(g○f)(x)=g(f(x))である。
  
  
• 逆写像
  写像fが集合Aから集合Bへの、｢全単射」・「Bの上への1対1対応の写像｣であるとき、集合Bの任意の要素yに対して、y=f(x)となる集合Aの要素xをただ一つ定めることができる。すなわち、集合Bから集合Aへの写像を定義できる。これを写像fの｢逆写像｣と呼び、y=f^-1(x)と書く。
  
  
• 変換：同じ集合Aから集合Aへの写像を｢変換｣と呼ぶ。
  
  
  
• 1次変換
  集合Aを、平面上の任意の点(x,y)の集合とし、点(x₁,y₁)を点(x₂,y₂)に対応付ける規則が、x,yの「『斉』1次式(定数項を含まない1次式）」で表現されるとき、これを平面上の「1次変換」と呼ぶ。
  
  x₂=ax₁+by₁
  y₂=cx₁+dy₁
  
  これは、右辺の係数を2次の正方行列A

  A=	a	b
  	c	d

  とし、列ベクトル=(x₁,y₁)、列ベクトル=(x₂,y₂)をもちいて、
  =A
  と書くことができる。行列Aのことをこの1次変換を表す行列であるといい、または、「1次変換A」とも呼ぶ。
  
  
• 1次変換の「線形性｣
  A(α+β)=αA+βA
  これは、列ベクトルに関する「加法」および「定数倍」の演算が、「左から行列をかける」という演算と「交換可能」であることを意味している。
  
  
• 合成変換
  fを表す行列をA、gを表す行列をB、とすれば、 (g○f)()=BAである。
  
  
• 逆変換
  行列Aが逆行列A^-1をもつならば、平面上の点に対して、
  =A
  をみたす点を
  =A^-1
  によって求めることができる。
  A^-1の表す変換をAの「逆変換」と呼ぶ。
  
  Aが逆行列をもつ行列（正則行列）ならば、Aが表す1次変換は「全単射（上への1対1対応）」であるが、
  
  Aが逆行列をもたない行列（非正則行列）ならば、Aが表す1次変換は「全射（上への写像）」でもなく、「単射（1対1対応）」でもない。
  
  
• 1次変換の決定
  
  いずれも原点ではなく、かつ原点を通る同一の直線上にはない2点と、その像がわかれば、1次変換を表す行列を求めることができる。
  行列Aで表される1次変換が点(x₁,y₁)を点(u₁,v₁)へ、点(x₂,y₂)を点(u₂,v₂)へ移したとする。すなわち、

  A x1 y1 = u1 v1

  ,

  A x2 y2 = u2 v2

  ここで、2点(x₁,y₁),(x₂,y₂)は、いずれも原点ではなく、かつ原点を通る同一の直線上にはないものとする。すなわち、ベクトル(x₁,y₁),(x₂,y₂)は「1次独立」であるとする。
  
  これは、以下のように書けるから、

  A x1 x2 y1 y2

  = u1 u2 v1 v2

  ここで、

  P = x1 x2 y1 y2

  ,

  B = u1 u2 v1 v2

  とおけば、
  AP=B
  ベクトル(x₁,y₁),(x₂,y₂)は「1次独立」であるから、Pは逆行列P^-1をもつ。これを両辺に右からかけると、
  APP^-1=BP^-1
  AE=BP^-1
  A=BP^-1
  となり、この1次変換を定める行列を求めることができた。
  
  [例題1]
  f,gはxy平面上の1次変換である。gは2点P(1,-2),Q(-3,2)をそれぞれ点(-1,-2),(-3,-4)にうつし、合成変換g○fはP,Qをそれぞれ点(-4,7),(0,-1)にうつす。fを表す行列を求めよ。
  
  
  
  
  
  
  
  
• 正則1次変換(逆行列をもつ行列による1次変換)
  
  逆行列をもつ行列による1次変換は「全単射」であるから、平面上のすべての点は、平面上のすべての点に移され、かならず逆変換が存在する。原点に移される点は、原点のみである。
  
  
  
  • 恒等変換：単位行列による1次変換
    この変換によって平面上のすべての点は、その位置を変えない。
    
    
  • 対角行列による1次変換（対角変換）

    A=		a	0
    		0	b

    による1次変換は、平面上のすべての点を、原点から見てx軸方向にはa倍拡大、y軸方向にはb倍拡大する変換である。
    
    [例題2]x軸に関する対称移動、y軸に関する対称移動、原点に関する対称移動、を表す行列を、それぞれ求めよ。
    
    [例題3]原点を中心とし、半径1の円が、1次変換

    A=		a	0
    		0	b

    によって移される図形を求めよ。
    
    
  • 原点まわりの回転を表す行列
    
    点(1,0)を原点まわりに（反時計まわりを正として）θ回転させると、(cosθ,sinθ)にうつされる。
    点(0,1)を原点まわりに（反時計まわりを正として）θ回転させると、(-sinθ,cosθ)にうつされる。
    平面上の任意の点P(x,y)は、1次独立なベクトル(1,0),(0,1)をもちいて、

    =		x		=x		1		+y		0
    		y				0				1

    と書ける。
    「1次変換の線形性」から

    A=A		x		=xA		1		+yA		0
    		y				0				1

    A		x		=x		cosθ		+y		-sinθ
    		y				sinθ				cosθ

    A

    x

    =

    xcosθ-ysinθ

    =

    cosθ

    -sinθ

    x

    y

    xsinθ+ycosθ

    sinθ

    cosθ

    y

    
    
    こうして、回転を表す行列、
    
    

    A=		cosθ	-sinθ
    		sinθ	cosθ

    
    が得られた。
    
    [例題4]この結果をもちいて、三角関数の「加法定理」を証明せよ。
  
  
  
• 非正則1次変換(逆行列をもたない行列による1次変換)
  
  逆行列をもたない行列による1次変換は｢全射(上への写像）｣でもなく｢単射(1対1対応)｣でもない。
  逆変換を持たないから、ある点がその1次変換によって｢どこから｣移されてきたかを特定できない。
  
  

  A

  x

  =

  a

  b

  x

  =

  X

  y

  c

  d

  y

  Y

  
  点(x,y)を点(X,Y)に移す1次変換を表す行列Aが逆行列をもたないとは、その行ベクトル(a,b)と行ベクトル(c,d)が1次従属(いずれかが零ベクトル、または互いに平行)であることと同値だから、たとえば(c,d)=(ua,ub)であるとすると、
  
  

  a

  b

  x

  =

  ax+by

  =

  X

  ua

  ub

  y

  u(ax+by)

  Y

  
  Y=uXとなり、これは平面上の任意の点(x,y)が、原点を通る直線y=uxに移された、ことを意味する。
  
  [例題5]次の行列が表す1次変換において、平面上の任意の点(x,y)は、原点を通る直線に移される。この直線を求めよ。

  (1)

  (2)

  
  
  
• 不動点と不動直線
  
  
  
  • 不動点
    1次変換によって動かされない点を、｢不動点｣と呼ぶ。すなわち、

    A		x		=		x
    		y				y

    (A-E)		x		=		0
    		y				0

    を満たす点である。任意の1次変換に対して原点は常に不動点である。
    
    原点以外に不動点を持つ必要十分条件は、行列(A-E)が逆行列をもたないこと、別の言い方をすると行列Aが｢固有値｣1をもつことである。
    固有値1に対応する固有ベクトルを(x₀,y₀)とすると、

    (A-E)		x0		=		0
    		y0				0

    となり、このような点は、原点を通り、(x₀,y₀)を方向ベクトルとするような直線上に並ぶ。（これを｢不動点の集合｣と呼んでおく。）
    
    
  • 不動直線
    ある特定の直線上のすべての点が、ある1次変換によって再び同じ直線上に移されるようなことがある場合、この直線をこの1次変換による｢不動直線｣であるという。

    A=	a	b
    	c	d

    が実数の「固有値」kをもつとき、すなわち、｢固有方程式｣、
    k²-(a+d)k+(ad-bc)=0
    が実数解をもつとき、このkに対応する｢固有ベクトル｣を(x₀,y₀)とすると、

    A		x0		=k		x0
    		y0				y0

    であるから、原点を通り、方向ベクトル(x₀,y₀)の直線上の任意の点は、同じ直線上に移される。これは｢不動直線｣である。
    
    

    1次変換を表す行列Aが、実数の固有値kをもつとき、これに対応する固有ベクトルを方向ベクトルとし、原点を通る直線は、この1次変換における｢不動直線｣である。

    
    特に固有値が1であるとき、この直線は｢不動点の集合｣となる。
    
    
  • 原点を通らない｢不動直線｣を持つ条件・｢固有値｣による｢不動直線｣の持ち方の分類
    • 1次変換Aが実数の固有値k₁,k₂をもつとする。

      A=	a	b
      	c	d

      に対して、

      A		x		=k		x
      		y				y

      すなわち、

      (A-kE)		x		=		0
      		y				0

      を満たす(x,y)=(0,0)でない(x,y)が存在するから、
      k²-(a+d)k+(ad-bc)=0
      この2次方程式(固有方程式)が2個の実数解k₁,k₂をもつとすると、｢解と係数の関係｣より、
      • k₁+k₂=a+d・・・�@
      • k₁k₂=ad-bc・・・�A
      �@より、 d=(k₁+k₂)-a
      �Aより、 bc=a{(k₁+k₂)-a}k₁-k₁k₂
      すなわち、 bc=-(a-k₁)(a-k₂)
      ここで、b≠0とすると、 c=-(a-k₁)(a-k₂)/b 、すなわち、

      A=	a	b
      	-(a-k1)(a-k2)/b	(k1+k2)-a

      となる。ここで、固有値k₁,k₂に対応する固有ベクトルをそれぞれ、(x₁,y₁),(x₂,y₂)、すなわち、

      A		x1		=k1		x1
      		y1				y1

      A		x2		=k2		x2
      		y2				y2

      とすると、

      (A-k1E)		x1		=		0
      		y1				0

      (A-k2E)		x2		=		0
      		y2				0

      であるから、それぞれ、

      	a-k1	b		x1	=		0
      	-(a-k1)(a-k2)/b	-(a-k2)		y1			0

      	a-k2	b		x2	=		0
      	-(a-k1)(a-k2)/b	-(a-k1)		y2			0

      となり、法線ベクトルを((a-k₁),b),((a-k₂),b)とする2直線、
      (a-k₁)x+by=0
      (a-k₂)x+by=0
      が、原点を通る2本の｢不動直線｣となっていることがわかる。
      k₁=k₂(重解)のとき、これらは1本の直線となる。
      また、k₁,k₂のいずれか一方が1であるとき、それに対応する｢不動直線｣は｢不動点の集合｣である。
      
      
    • k₁=1,k₂≠1のとき
      直線(a-1)x+by=0上の点はすべて｢不動点｣であるから、この直線上に定点(x₀,y₀)をとる。
      定点(x₀,y₀)を通り、法線ベクトル((a-k₂),b)の直線上の任意の点をP(x,y)とすると、

      =		x		=		x0		+t		-b
      		y				y0				a-k2

      と表されるから、この点の1次変換Aによる像Qは、

      =A

      x

      =A

      x0

      +tA

      -b

      =

      x0

      +tk2

      -b

      y

      y0

      a-k2

      y0

      a-k2

      となり、やはり、定点(x₀,y₀)を通り、法線ベクトル((a-k₂),b)の直線上にあることがわかった。
      従って、行列Aが固有値として、1およびk₂≠0をもつとき、k₂に対応する｢不動直線｣と平行な、任意の、原点を通らない直線
      (a-k₂)x+by+r=0
      が｢不動直線｣である。
      
      
    • k₁=k₂=1(重解)のとき
      このとき行列Aは、

      A=	a	b
      	-(a-1)2/b	2-a

      であり、直線(a-1)x+by=0上の点はすべて｢不動点｣である。
      今、この直線上にない定点をQ(x₁,y₁)とすると、その1次変換Aによる像をR(x₂,y₂)とすると、
      =-=A-=(A-E)

      =	a-1	b		x1		=-{(a-1)x1+by1}/b	-b
      	-(a-1)2/b	-(a-1)		y1			a-1

      となり、平面内の任意の点は、1次変換Aによって、｢不動点の集合｣である直線(a-1)x+by=0に平行に移動することがわかった。
      従って、行列Aが固有値として1の重解をもつとき、「不動点の集合」(a-1)x+by=0に平行な、原点を通らない任意の直線、
      (a-1)x+by+r=0
      が｢不動直線｣である。
      
      
    • b=0のとき
      bc=-(a-k₁)(a-k₂)であるから、a=k₁または、a=k₂
      • a=k₁のときについて考える。 (a=k₂のときもほぼ同様。)

        A	x		=	a	0			x
        	y			c	k2			y

        (A-aE)

        x

        =

        0

        0

        x

        =

        0

        y

        c

        -(a-k2)

        y

        0

        (A-k2E)

        x

        =

        a-k2

        0

        x

        =

        0

        y

        c

        0

        y

        0

        となり、
        cx-(a-k₂)y=0
        x=0(y軸)
        が｢不動直線｣である。
      • さらにcも0ならば、

        A	x		=	a	0			x
        	y			0	k2			y

        x=0(y軸),x=0(y軸)が｢不動直線｣である。
      • a=k₁=1のとき

        A	x		=	1	0			x
        	y			c	k2			y

        (A-E)

        x

        =

        0

        0

        x

        =

        0

        y

        c

        k2-1

        y

        0

        (A-k2E)

        x

        =

        -(k2-1)

        0

        x

        =

        0

        y

        c

        0

        y

        0

        となり、
        cx+(k₂-1)y=0
        が｢不動点の集合｣であり、
        x=0(y軸)
        が｢不動直線｣である。
      • さらにcも0ならば、
        y=0(x軸)が｢不動点の集合｣であり、
        x=0(y軸)が｢不動直線｣である。
      • a=k₁=k₂=1のとき

        A	x		=	1	0			x
        	y			c	1			y

        x=0(y軸)が｢不動点の集合｣であり、 これに平行な任意の直線x=rが原点を通らない｢不動直線｣である。
      • さらにcも0ならば、
        Aは単位行列Eであり、｢恒等変換｣である。平面内の任意の点が｢不動点｣であり、平面内の任意の直線(原点を通らないものも含む)が｢不動直線｣である。
    
    
    
    
    
    
    [例題6]次の各行列が表す1次変換について、以下のことを調べよ。
    1. この1次変換によって、原点以外に、動かされない点が存在するかどうか。
    2. 原点を通る直線で、この1次変換によって同じ直線上の点がすべて同じ直線に移されるような直線が存在するかどうか。
    3. 原点を通らない直線で、この1次変換によって同じ直線上の点がすべて同じ直線に移されるような直線が存在するかどうか。

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    2 0 1 3

    (8)

    2 1 0 3

    (9)

    2 0 0 3

    (10)

    2 0 0 2

    (11)

    1 0 3 2

    (12)

    1 3 0 2

    (13)

    1 0 0 2

    (14)

    1 0 0 1

• [例題1]
  f,gはxy平面上の1次変換である。gは2点P(1,-2),Q(-3,2)をそれぞれ点(-1,-2),(-3,-4)にうつし、合成変換g○fはP,Qをそれぞれ点(-4,7),(0,-1)にうつす。fを表す行列を求めよ。
  1次変換f,gを表す行列をそれぞれA,Bとする。

  B 1 = -1 -2 -2

  ,

  B -3 = -3 2 -4

  BA 1 = -4 -2 7

  ,

  BA -3 = 0 2 -1

  したがって、

  B 1 -3 = -1 -3 -2 2 -2 -4

  ,

  BA 1 -3 = -4 0 -2 2 7 -1

  ここで、

  P=		1	-3
  		-2	2

  とすると、

  P-1=(-1/4)		2	3
  		2	1

  B=(-1/4)		-1	-3			2	3		=(1/2)		4	3
  		-2	-4			2	1				6	5

  BA=(-1/4)		-4	0			2	3		=		2	3
  		7	-1			2	1				-3	-5

  ここで、

  B-1=		5	-3
  		-6	4

  だから、

  A=		5	-3			2	3		=		19	30
  		-6	4			-3	-5				-24	-38

  
  
  
• [例題2]x軸に関する対称移動、y軸に関する対称移動、原点に関する対称移動、を表す行列を、それぞれ求めよ。
  1. x軸に関する対称移動

     A p = p q -q

     従って、

     A= 1 0 0 -1

  2. y軸に関する対称移動

     A p = -p q q

     従って、

     A= -1 0 0 1

  3. 原点に関する対称移動

     A p = -p q -q

     従って、

     A= -1 0 0 -1

  
  
  
• [例題3]原点を中心とし、半径1の円が、1次変換

  A=		a	0
  		0	b

  によって移される図形を求めよ。
  原点を中心とし、半径1の円の円周上の動点は(cosθ,sinθ)と表すことができる。

  	a	0		cosθ	=		acosθ
  	0	b		sinθ			bsinθ

  x=acosθ
  y=bsinθ
  で表される点(x,y)は、楕円
  
  上にある。
  
  
  
  
  
  
• [例題4]この結果をもちいて、三角関数の「加法定理」を証明せよ。

  A= cosα -sinα sinα cosα

  ,

  B= cosβ -sinβ sinβ cosβ

  とすると、

  AB=		cos(α+β)	-sin(α+β)		=	cosαcosβ-sinαsinβ	-cosαsinβ-sinαcosβ
  		sin(α+β)	cos(α+β)			sinαcosβ+cosαsinβ	-sinαsinβ+cosαcosβ

  
  
  
• [例題5]次の行列が表す1次変換において、平面上の任意の点(x,y)は、原点を通る直線に移される。この直線を求めよ。

  (1)

  (2)

  (1)y=(1/3)x

  		x		=	X
  		y			Y

  X=(1/2)x+(3/2)y
  Y=(1/6)x+(1/2)y=(1/3){(1/2)x+(3/2)y }=(1/3)X
  (2)y=x

  		x		=	X
  		y			Y

  X=(1/2)x+(3/2)y
  Y=(1/2)x+(3/2)y =X
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• [例題6]次の各行列が表す1次変換について、以下のことを調べよ。
  1. この1次変換によって、原点以外に、動かされない点が存在するかどうか。
  2. 原点を通る直線で、この1次変換によって同じ直線上の点がすべて同じ直線に移されるような直線が存在するかどうか。
  3. 原点を通らない直線で、この1次変換によって同じ直線上の点がすべて同じ直線に移されるような直線が存在するかどうか。
  
  
  
  
  

  	行列	固有方程式 固有値	逆行列	不動点	原点を通る 不動直線	原点を通らない 不動直線
  (1)		k2-2k+1=0 k=1(重解)	もつ	x-3y=0	x-3y=0	x-3y+r=0
  (2)		k2-3k+2=0 k=1,2	もつ	x-3y=0	x-y=0 x-3y=0	x-y+r=0
  (3)		k2-5k+6=0 k=2,3	もつ	原点以外に、 なし	x-y=0 5x-3y=0	なし
  (4)		k2-k=0 k=0,1 (非正則)	もたない	x-3y=0	x-3y=0	なし

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  	行列	固有方程式 固有値	逆行列	不動点	原点を通る 不動直線	原点を通らない 不動直線
  (5)		k2-2k=0 k=0,2 (非正則)	もたない	原点以外に、 なし	x-y=0	なし
  (6)		k2-k+2=0 (実数解なし)	もつ	原点以外に、 なし	なし	なし
  (7)	2 0 1 3	k2-5k+6=0 k=2,3	もつ	原点以外になし	x+y=0 x=0	なし
  (8)	2 1 0 3	k2-5k+6=0 k=2,3	もつ	原点以外になし	x-y=0 y=0	なし
  (9)	2 0 0 3	k2-5k+6=0 k=2,3	もつ	原点以外になし	x=0 y=0	なし
  (10)	2 0 0 2	k2-4k+4=0 k=2(重解)	もつ	なし	原点を通る 任意の直線が 不動直線である	なし
  (11)	1 0 3 2	k2-3k+2=0 k=1,2	もつ	3x+y=0	3x+y=0 x=0	x=r
  (12)	1 3 0 2	k2-3k+2=0 k=1,2	もつ	x-3y=0	x-3y=0 y=0	x-3y+r=0
  (13)	1 0 0 2	k2-3k+2=0 k=1,2	もつ	y=0	x=0	x=r
  (14)	1 0 0 1	k2-2k+1=0 k=1(重解)	もつ	平面上の任意の点が 不動点である	平面上の任意の直線が 不動直線である