1. 2次の正方行列A
    A= a b
    c d

    が、逆行列をもつための必要十分条件は、
    ad-bc≠0
    であることを証明せよ。
    1. Aが逆行列をもつための必要条件が、ad-bc≠0であること
      すなわち、

      Aは逆行列をもつならば、ad-bc≠0である

      ことを、示す。
      • ここに、 「Aが逆行列をもつ」 とは、

        AB=BA=E・・・@

        を充たすような2次の正方行列Bが存在することである。
        ただし、Eは単位行列を表し、次のように定義される。
        E= 1 0
        0 1

      • 一方、 2次の正方行列A
        A= a b
        c d
        に対しては、「ハミルトン・ケーリーの定理」と呼ばれる以下の式が成立することが知られている。

        A2-(a+d)A+(ad-bc)E=O・・・A

        ここに、Oは零行列である。
        O= 0 0
        0 0

      • では、ここで、「Aが逆行列をもち」、かつ、「ad-bc=0」であると仮定すると、
        Aより、

        A2=(a+d)A・・・B

        となる。一方、@をみたすBが存在するのであるから、これをこのB式の両辺に右側からかけると、

        A2B=(a+d)AB
        AAB=(a+d)AB
        AE=(a+d)E
        A=(a+d)E
        a b = a+d 0
        c d 0 a+d

        となり、

        a=b=c=d=o

        すなわち、A=Oが導かれる。

        B式の両辺にBを左側からかけた場合も同様にして、

        BA2=(a+d)BA
        BAA=(a+d)BA
        EA=(a+d)E
        A=(a+d)E

        となり、やはり A=Oが導かれる。

        明らかに、

        OB=BO=O

        であるから、これは@に反している。このような矛盾が生じた理由は、
        Aが逆行列をもち」、かつ、「ad-bc=0」であると仮定
        したことにあるから、これが誤っている。

        こうして、

        Aは逆行列をもつならば、ad-bc≠0である

        であることが、示された。


    2. Aが逆行列をもつための十分条件が、ad-bc≠0であること
      すなわち、

      ad-bc≠0であるならば、Aは逆行列をもつ

      ことを、示す。
      ad-bc≠0であるから、「ハミルトン・ケーリーの定理」A式の両辺を

      ad-bc

      で割ると、









      となるから、Bを次のようにおくと、



      AB=E

      となる。また、





      であるから、

      BA=E

      である。こうして、



      すなわち、



      は、Aの逆行列である。

      以上から、ad-bc≠0であるならば、Aは逆行列をもつことが示された。




  2. √2が無理数であることを示せ。
    √2が有理数である、すなわち、

    √2=m/n・・・@

    をみたす、互いに素な整数m,nが存在する、と仮定する。

    @の両辺を2乗すると、

    2=m2/n2

    2n2=m2・・・A

    となるから、mは2を因数に持つことになる。
    そこで、整数m'を用いて、

    m=2m'・・・B

    と表すことにすると、ABより、

    2n2=4m'2
    n2=2m'2

    となるから、nは2を因数に持つことになる。

    m,nともに2を因数に持つことになり、
    これは、「@をみたす、互いに素な整数m,nが存在する」との仮定に矛盾している。

    こうして、@をみたす、互いに素な整数m,nは存在しないこと、すなわち、√2は無理数であることが示された。

世界の私に対する「まなざし」「私を知っている私」エウレカ!エウレカ!

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