[問題]G={e,a,a²}  (a³=e)  という群の自己同型群を求めよ。
[解]という写像はGの自己同型である。したがって、Gの自己同型群は、A(G)={φ₀,φ₁}である。
｢代数的構造｣遠山啓(ちくま学芸文庫)
少し変えてあるが、だいたい、こんな感じの、｢そっけない｣解答のところで、私は、立ち止まってしまった。
もちろん、｢解を求める｣というのは、｢これ｣が条件を満たすものである、という｢肯定文｣を主張するだけでは足らず、｢これ｣以外には、条件を満たすものは、この世に、一切、存在しない、という｢否定文｣をも立証しなければならないのであるから、その意味では、この答案は、不十分なのである(笑い)。無論遠山先生が｢不十分｣なのではなく(笑)、先生が、｢そんなの、当たり前でしょ?｣と省略した内容が、・・・、定年退職後のお父さんの、手遊び（てすさび）、としての、｢ど素人の『群論』入門｣、を、｢定年退職｣でも｢お父さん｣でもない(泣)、｢失業者｣の｢独居老人｣がものしているわけだが、その｢私｣が、全く理解しなかったのである。
さいわい、時間だけはたっぷりある。｢時間｣は、それを労働に当てれば価値を生み出すから、市場に持っていけば、売れるものなのである筈だが、私の場合は、買い手がつかなかったようなので(笑)仕方がない、自家用に消費することになったまでだ。ちなみに、プロレタリアート、というのは、時間以外に売るべきものをもたないものの謂いである。

集合Gは、e,a,a²、の3つの要素からなっている。eは｢単位元｣、してもしなくても同じの、操作を表す。aという操作は、3回繰り返すと元に戻る。これを、a³=eとあらわしている。
具体的な対応物を想像すれば、これは、たとえば正三角形ABCに対して、aという操作は、反時計回り120度回転、をあらわすことにしてもよい。eは、何もしないのだから、0度回転、a²は120回転を2回繰り返すから、240度回転、または、時計回り120度回転に等しい。なるほど、反時計回り120度回転を3回繰り返せば元に戻るから、a³=eである。

操作xに対して、それと前後して行うと、もとに戻ってしまう操作、すなわち、xy=e,yx=eとなる操作yを、xの｢逆元｣と申し、x^-1とあらわす。aa²=a²a=eだから、e,a,a²、の｢逆元｣はそれぞれ、e,a²,a、である。

集合Gから、集合Gへの1対1写像をφであらわすと、これは、3個の要素に、同じ3個の要素を、重複することなく割り当てる方法であるから、それは3個の異なるものe,a,a²、を並べる方法の数に他ならず、順列₃P₃=3!=6で、6通りある。それを、以下の如くに名付ける。e,a,a²に、この順で、e,a,a²を対応させる何もしない写像、「恒等写像｣をφ₀として、他を、φ₁〜φ₅とした。




｢同型写像｣を定義する。
集合Gの任意の元x,yに対して、以下の2条件が満たされるとき、写像φをGからGへの｢同型写像｣という。この場合は定義域と値域がともにGという同じ集合だから、｢自己同型写像｣という。
φ(xy)=φ(x)φ(y)・・・(ア)
φ(x^-1)=φ(x)^-1・・・(イ)
ここでは二つの文字を並べることが、｢操作を続けて行う｣意なのだが、数式のようにこれを｢掛け算｣に「喩える」ならば、
(ア)「掛けて」から「移して」も、「移して」から「掛けて」も、同じ。
逆元を作ることを、「ひっくり返す」とでも言うならば、
(イ)「ひっくり返して」から「移して」も、「移して」から「ひっくり返して」も、同じ。

φ₀〜φ₅の6個の写像のうち、これら(ア)(イ)の条件を満たし「自己同型写像」といえるのは、φ₀および、φ₁のみである、とこともなげに（笑）主張しているのが、上の「解」なのであるが、では、確かめてみる。
まず(ア)の要件。連続する操作xyの一覧表。はじめの操作xが欄外の縦、あとの操作yが欄外の横で、太い罫線で囲まれた内部が、その連続操作の結果を表す。


この表の太線内の配列を、それぞれφ₀〜φ₅によって｢移した｣ものが、以下の左側の表、φ_k(xy)である。
右側は、｢移した｣後に、｢掛けた｣、φ_k(x)φ_k(y)である。
なるほど!、左右が同じ結果になっているのは、たしかに、φ₀、φ₁のみなのである。黄色であらわした。

  

  

  

  

  

  

次に(イ)の要件。なるほどこれまた、同じ結果が得られるのは、φ₀、φ₁のみ。これも黄色にした。

    

    

これだけのことがわかるのに、ほぼ一日を費やした。つまり、本を3行読むのに、一日かかるのである(笑)。
そして、困ったことに、かかる暴力的なまでの｢時間｣の｢浪費｣が、今の私には(笑)必要なのである。｢時間｣は、そうでなければ｢価値｣を生み出していたであろうに、・・・、というときにのみ、その｢浪費｣を、悔い、戒めなければならない(笑)のである。
｢買い手｣のつかない｢時間｣は、｢浪費｣以外に使用法がない(笑)。これは、｢時間｣の、何者かへの、無償の｢贈与｣、｢時間｣の｢ポトラッチ｣である(笑)。
誇らしげにいうのならば、きっとそういうことなんだろう♪〜〜（｢イー自由ライダー｣奥田民生）。