一般に限りなく多くの定まれる数の一系統Sの諸数がある定まれる数λの附近に限りなく集積するときは、λをSの集積点といふ。即ちλの如何程近くにも、尚詳しく言はば、其幅如何程小くともよし、凡そλを含めるあらゆる間隙の中に、Sの諸数が限りなく多く含まるるなり。但λなる数自らが、Sに属すると然らざるとは問ふ所にあらず。
例へば,+,,+等、一般に、,+
の如き分数を総括して之をSと名づく。 Sを組成せる数は凡ての幹分数および二つの相異なる幹分数の和なり。さて、Sの集積点なり、げにも+,+,・・・,+,・・・はSに属せるが故に、の如何程近くにもSの数限りなく存在す。 ,,・・・一般にも亦Sの集積点なり。然れども+Sの集積点にあらず、Sの諸数の中此数に最近きは+にして、両者の中間にはSの諸数一も存在せず。 +Sの最大の数なり。又0はSの集積点なり。0はSの下限にして、これ即ち下限が集積点なる例なり。
「新式算術講義」高木貞治(ちくま学芸文庫)


「集積点」概念は、極限を論ずる入口に当たるようだ。読解を試みよう。
実数を要素とする無限集合Sがある。
任意の正数εに対して、区間(λ-ε,λ+ε)にSの要素が無限に含まれるとき、λをSの集積点と呼ぶ。λ自体が、Sの要素であることは必ずしも要しない。
例えば、次のような集合を考えよう。

ここで、  (m=2,3,4,・・・)は集積点である。任意の正数εに対して、区間x+εの間に、無数のSの要素が存在するからである。
ところが、例えば、+はこの集合の最大の数であるが、集積点ではない。+に最も近いSの要素は、+であって、両者の間にはただの一つもSの要素が存在しないからである。

Sの諸数を図に表はせ、集積点の意義明白に理会せらるべし」とあるから、やってみた。同じ数直線上にプロットすると重なってわかりにくいから、ずらした。
青色が、+の系列。n=40までしかやっていないから、空白が見えるが、もちろん、「本当は」(笑)の「近傍」、右側だけだが、に、びっしりと点が並ぶのである。
同様に、赤色が、+、緑色が、+の系列。
訂正。上の証明は、間違っているね。
++の間 または、++の間 には、Sの要素はただ一つも含まれていない」、というのは真っ赤な嘘だ。

上の図からわかるように、両隣、またはそれより先の系列が、間にはまり込んでくる可能性は、大いにある。だが、どこまでの「隣」が影響を及ぼしうるかを一般化するには、複雑すぎて確定できないようなのだ。
例を一つ挙げて、諦めることにする。

たとえば、++の間には、決して「無数」ではなく、有限個のSの要素しか含まれていないことを確かめたい。
もしこれを一般化しえたなら、きっとできるのだが、私にはできないだけだ(笑)、これら2つの数の間隙にすでに有限個の要素しか存在しないのだから、まして、その両端のε近傍に「無数の」Sの要素が存在するわけがなく、したがって、このような「2つの幹分数の和」の形式のものがSの集積点ではありえないことが示されることになる。
+≒0.236  ,  +≒0.253  ,  +≒0.256  ,  ≒0.333
であるから、+の系列や、+の系列が、さらにそれより外側の系列も「おそらく」(笑)、この間隙に入ってくることはない。
+系列、+系列、+系列、のみについて、この区間に入ってくるSの要素の個数を数えてみよう。