10進法の既約真分数が、有限小数を表すための必要十分条件は、分母が、2と5以外の素因数を含まないことである。
[証明]
- 「10進法の既約真分数が、有限小数を表す→分母が、2と5以外の素因数を含まない」を示す。
小数点以下第r位までで記すことのできる有限小数は、
とあらわすことができる。
ここで、a=2p・5q・a'(ただし、a'は2,5いずれとも互いに素、p≦r、q≦r)とかくことができるから、
これは、2と5以外の素因数を含まない既約真分数である。 - 「分母が、2と5以外の素因数を含まない→10進法の既約真分数が、有限小数を表す」を示す。
このような分数は、
(ただし、aは2,5いずれとも互いに素)とあらわすことができる。
- p≧qのとき
これは、小数点以下第p位までで記すことのできる、有限小数である。 - p＜qのとき
これは、小数点以下第q位までで記すことのできる、有限小数である。
- p≧qのとき
10進法の既約真分数が、純循環小数を表すための必要十分条件は、分母が、2と5と互いに素であることである。
[証明]
- 「10進法の既約真分数が、純循環小数を表す→分母が、2と5と互いに素である」を示す。
10進法の既約真分数
(a,bは互いに素、b＜a)が、循環節の長さeの純循環小数とする。
=0.○△・・・□○△・・・□○△・・・□・・・
ここに、「○△・・・□」がe桁の循環節であるから、
10e=○△・・・□.○△・・・□○△・・・□○△・・・□・・・
両式の辺々を引いて、
(10e-1)=○△・・・□
右辺はe桁の整数であるからこれをpとおくと、
(10e-1)=p
すなわち、(10e-1)b=ap
ここに、(a,b)=1、すなわちa,bは互いに素であるから、10e-1はaで割り切れる、
すなわち、10e-1≡0 (mod a)
左辺は、9,99,999,9999,・・・など、10進法の繰り上がり直前の整数であり、2,5を素因数にもつことはない。 - 「分母が、2と5と互いに素である→10進法の既約真分数が、純循環小数を表す」を示す。
10進法の既約真分数(a,bは互いに素、aは2,5のいずれとも互いに素、b＜a)について、
実際にb÷aを筆算で実行したときのことを想像する。
b=aq0+r1
10r1=aq1+r2
10r2=aq2+r3
・・・
10rm-1=aqm-1+rm・・・(*)
・・・
10rn-1=aqn-1+rn・・・(**)
・・・
ここに、r1,r2,・・・はいずれも、0＜rn＜aの自然数であるから、a-1個という有限な個数の中から選ばざるを得ず、かならず、どこかで同じものが生じる。同じ余りが生じた段階で、以降循環が生ずるのである。
第m回目の割り算で生じた余りrmと、第n回目の割り算で生じた余りrn(m＜n)が、初めて等しくなったとする。
(*),(**)の辺々を引いて、
10(rm-1-rn-1)=a(qm-1-qn-1)
大小関係は不明だから絶対値をとって、
10|rm-1-rn-1|=a|qm-1-qn-1|
aと10は互いに素であるから、|rm-1-rn-1|がaで割り切れなければならない。
ところで、0＜rm-1＜a,0＜rn-1＜aだから、
0≦|rm-1-rn-1|＜a
したがって、rm-1-rn-1=0しか有り得ない。
つまり、rm=rnならば、rm-1=rn-1が、示されたのである。順次遡っていくと、m=1のときのr0、すなわち、まだ一度も割り算を実行する前の余り、すなわち、分子bそのものが、いつか必ず現れる、同じ余りの、最初のものなのである。
