の、「数学的帰納法」による証明、うまくいったので(笑)、ご報告申し上げます。
何を以て、「仮定」とするのかが、悩ましい。上式は、n次の完全順列の個数、なのであるが、そのnについての帰納法なら、
D(n+2)=(n+1){D(n+1)+D(n)}
であることは既にわかっているのだから、直前の項だけではなく、そのひとつ前も考慮しなくてはならない、n=1,2を証明し、n=k及びn=k+1を仮定して、n=k+2を導く、という二段階の帰納法になるはずだが、そうすれば、ここまでの議論をもう一度「蒸し返す」だけで、ここでは、そうではなく、漸化式ではなく、直接に上の式を導きたいのである。
上の式を「類推」した根拠は、こうであった。

1,2,3,・・・,nが記されたカードが一枚ずつあり、それを左から順に並べていく際、
一番左n=1だけは一致していない、それ以外はどうでもいい、
左から一番目と二番目n=1,2だけは一致していない、それ以外はどうでもいい、
左から一番目と二番目と三番目n=1,2,3だけは一致していない、それ以外はどうでもいい、
・・・、そこまでが、確認できたのである。
当然、左から一番目と二番目と三番目と・・・m番目まで、n=1,2,3,・・・,mだけは一致していないが、それ以外はどうでもいい、ような並べ方の個数が、

であることを、自然数mについての帰納法として、証明することになる。早速はじめよう。

1,2,3,・・・,nが記されたカードが一枚ずつあり、それを左から順に並べていく際、
左から数えて一番目と二番目と三番目と・・・m番目までのカードに書かれた数字が、左から数えた番号n=1,2,3,・・・,mに一致していないが、それ以外のm+1番からn番までは、一致していてもしていなくてもどうでもよい、ような並べ方の個数が、

とあらわされることを示したい。ここに、Ajとは、第j番目が一致している、他についてはどうでもよい、場合の数を表している。 以上から、m=1,2,3,・・・,nに対して、

が成立する。よって、

である。