地球の自転軸をz軸、緯度をθ、経度については特に決めない、時刻t、これは0≦t＜24の整数値をとることにする、として、t=0のときに、観測者の立つ場所が、x軸を含む大円上にあることにする。すると、観測者の立つ場所を表すベクトルをrは、地球の半径をRとして、
r=(Rcosθcos(πt/12),Rcosθsin(πt/12),Rsinθ)
長さ|r|=Rで割って「正規化」しておくと、
r/|r|=(cosθcos(πt/12),cosθsin(πt/12),sinθ)

こんどは、その観測者の立つ場所を原点として、「北」すなわちz軸方向をのぞむ方向をX、そこから中天をのぞむ方向をZとして、これらと直交し、「右手系に合致するようYを定めることにする。すると、この新たな座標系XYZの、それぞれの単位ベクトルを、e_X,e_Y,e_Zとすると、
e_X=(-sinθcos(πt/12),-sinθsin(πt/12),cosθ)
e_Y=(sin(πt/12),-cos(πt/12),0)
そして、e_Zは、r/|r|そのものであるから、
e_Z=(cosθcos(πt/12),cosθsin(πt/12),sinθ)
とならないであろうか？あまり自信はない(笑)。今日のところはここまで、これだけでも、午前中いっぱいを費やした(笑)、「費やす」のが目的だから、もちろん「本望」であるが。