コリオリの力

｢ベクトルの外積｣の定義

ただし、nは、
- aベクトルとbベクトルの始点をそろえ、
- aをbに重なるように回転したとき、
- その回転方向を右ねじの回転方向に見立てたならば、右ねじが進行する方向の単位ベクトル、
である。
回転する座標系上の運動方程式
同一の点Oを原点とする2つの座標系S,S'があり、S'系はOを通る定軸の回りを角速度ωで、S系に対して相対的に回転している。
ここに｢角速度ベクトル｣ωは、
- その大きさがω、
- その回転方向を右ねじの回転方向に見立てたときに、右ねじの進行方向をその方向とする
と、定める。

S'系に対して相対的に静止している
ベクトルBの時間的変化率dB/dt 一般のベクトルAの時間的変化率dA/dt
S'系に対して相対的に静止しているベクトルBの時間的変化率dB/dt
B(t+t)-B(t)=
は半径Bsinθ、中心角ωtの扇形の｢弦｣であるが、tが十分小さいときは、｢弧｣に近似して差し支えない。
したがって、
||=ωBsinθt
また、の方向は、角速度ベクトルωをBに重なるように回転したときに、右ねじの進む方向、であるから、｢外積｣の定義に従って、
=ω×Bt
すなわち、
一般のベクトルAの時間的変化率dA/dt
S系においては、
- 時刻tにおいてA(t)=
- 時刻t+tにおいてA(t+t)=
  すなわち、
  A(t+t)-A(t)=
S'系において、時刻tにおいてP点にいた観測者からこれを眺めると、
- A'(t)=
- tの間にPはQ間で移動するから、
  +=
  すなわち、
  (ω×A)t+A'(t+t)=A(t+t)-A(t)
  S系における変化量をA、S'系における変化量を'Aと書くと、
  (ω×A)t+'A=A
  よって、
  ・・・(1)
(1)式にωを代入すると、外積の定義からω×ω=であるから、
S系における時間変化率も、S'系における時間変化率も等しくなるので、下のような記号で定義する。
ベクトルAの時間による二階微分d²A/dt²
- (1)の両辺をtで微分する。積の導関数(uv)'=u'v+uv'を用いて、
- 右辺第一項、第三項に(1)を適用して、
- (2)を用いてまとめると、
  ・・・(3)
S系における運動方程式
S'系における運動方程式
自転する地球上での運動について考える。運動する質点の位置ベクトルをrとすると、
- 一様な回転(ωは一定)であるから、・・・(6)
- 重力mgと外力Fを受けているとして、S系での運動方程式を書くと、
  
  (5)の関係を用い、かつ(6)であるから、
- したがって、S'系での運動方程式は、
  
  まとめると、
  ・・・(7)
  右辺第2項は、｢見かけの重力｣であり、第3項が｢コリオリの力｣である。

｢見かけの重力｣について。


北緯θの地表面に静止している質量m質点には、地球の自転による｢向心加速度｣が生ずる。	地球の地軸に固定された観測者から見ると、この質点に作用する重力mgと、垂直抗力Nの合力が地軸に向かって垂直になっていなければならない。	地表面の観測者からみると、重力、遠心力、垂直抗力の3力がつりあっていなければならない。
	いずれにしても、垂直抗力は、地球の中心より、やや下方に向かうことになる。


北緯θの地表面に静止している質量mの質点に作用する、重力mg、遠心力Rω²cosθ、これらと釣り合う垂直抗力N。その根元は、地球中心より南極側にずれる。	南緯θの地表面に静止している質量mの質点に作用する、重力mg、遠心力Rω²cosθ、これらと釣り合う垂直抗力N。その根元は、地球中心より北極側にずれる。

｢コリオリの力｣

ベクトルの外積の定義に従えば、この力の方向は、

角速度ベクトルωを、地上の質点の移動速度ベクトルd'r/dtに重なるように回転したとき、右ねじの進む方向、
の、反対方向、

ということになる。




北緯θの地表面で、真北に向かって移動する質点には、東向きに、すなわち、進行方向に対して右に傾くように、｢コリオリ力｣が作用する。	南緯θの地表面で、真南に向かって移動する質点にも、やはり東向きに、すなわち、進行方向に対して左に傾くように、｢コリオリ力｣が作用する。


S'系に対して相対的に静止しているベクトルBの時間的変化率dB/dt	一般のベクトルAの時間的変化率dA/dt