2次物理・ファイナル・チェックシート

「鉛直面内の円運動」

下図のような遊園地のジェットコースターについて考える。
高さH mのA地点から、初速度0 m/sですべり降り、中央部の半径R mの円軌道を通過する。

レールとジェットコースターとの間には摩擦はまったくないと仮定しよう。また、実際の遊園地ではジェットコースターはレールから決して離れないように安全設計されているであろうが、ここでは、ジェットコースターがレールから受ける垂直効力を失うと軌道から外れて落下してしまう、と仮定する。

また、中央部の円は実際は一番下のB地点で少しずれなければ通れないから、完全な円軌道ではないのだが、これも無視し、ジェットコースターが進行方向に対して左右方向に軌道をずれて脱落することもないとする。

ジェットコースターの質量はm kg、重力加速度はg m/s²とする。

最下点Dから反時計回りにθ進んだ点Pにおけるジェットコースターの速さvを求めよ。

A点とP点におけるエネルギー保存則から、
・・・(1)
したがって、
v=
P点においてジェットコースターが軌道から受ける垂直抗力Nを求めよ。

法線方向についてだけ、運動方程式を立てる。
・・・(2)
(1)(2)からvを消去して、
N=
ジェットコースターが軌道から外れることなく円軌道を通過できるために、HとRが満たすべき関係を求めよ。

0θ2π の範囲では、N は θ= ( ) のとき最小値をとる。このとき、N0であればよいから、

したがって、求める条件は、 HR

エネルギー保存則から、
・・・(1)
法線方向について、運動方程式
・・・(2)
(1)(2)からvを消去して、
0θ2π の範囲では、N は θ=π のとき最小値をとる。
このとき、N0であればよいから、
HR

「慣性力」

水平面上に、これと角度θをなす斜面を持つ質量 M kg の台が置かれている。水平面から高さ h m の斜面上(A点)に質量 m kg の小物体を置き、静かに手を放す。

この後の小物体および台の運動について考える。水平面と台との間に摩擦はなく、小物体と斜面との間の動摩擦係数を μ' とする。

小物体が台から受ける垂直抗力をN₁、台が床から受ける垂直抗力をN₂、台と小物体の間に作用する動摩擦力をf、
水平面上にいる観測者からみた台の加速度の大きさをb[m/s²]、
台上にいる観測者からみた小物体の（相対）加速度の大きさをa[m/s²]として、

水平面上にいる観測者から見た、台の運動について
- 鉛直方向｢つりあいの式｣
  ・・・(1)
- 水平方向｢運動方程式｣
  ・・・(2)
台上の観測者からみた、小物体の運動について
- 斜面に垂直な方向｢つりあいの式｣
  ・・・(3)
- 斜面に平行な方向｢運動方程式｣
  ・・・(4)
台と小物体の間に作用する動摩擦力について
・・・(5)

（未知数N₁,N₂,a,b,fの5個、条件式5個で、解けるはずだ！、解くのはかなり大変なので、省略してよい。）

水平面上にいる観測者から見た、台の運動について考える。鉛直方向｢つりあいの式｣ Mg - N₂ + N₁cosθ + fsinθ = 0・・・(1) 水平方向｢運動方程式｣ N₁sinθ - fcosθ = Mb・・・(2)
水平面上にいる観測者からみた、小物体の運動を考えようとしても、加速度の方向がわからない。そこで観測者を台上に移し、「慣性力」をもち込む。
台上の観測者からみた、小物体の運動。斜面に垂直な方向｢つりあいの式｣ mgcosθ - N₁ - mbsinθ = 0・・・(3) 斜面に平行な方向｢運動方程式｣ mgsinθ + mbcosθ - f = ma・・・(4) 動摩擦力 f = μ'N₁・・・(5)

以上5式から、5個の未知数N₁ , N₂ , f , a , bについて、解けばよい。参考までに、・・・

(2),(5)からfを消去、これと(3)からbを消去する。

こうして、N₁が求められる。

(5)より、

(2)より、

(4)に代入して、

最後に、(1)から、

「単振動」

水平面と角度θをなす斜面上に、自然長 l₀ m、ばね定数 k のばねが、図のように固定されているとする。
斜面に沿って下向きにx軸をとり、ばねが固定されている点を原点とする。

ばねの先端に質量 m kg のおもりを取り付けて静かに手を放せば、おもりはある地点で静止する。この状態からさらにx軸方向におもりを引いてばねを引き伸ばし、 x = l 地点で手を放せば、おもりは運動を始めるだろう。
x = l 地点で手を放した瞬間を t = 0 として、おもりの位置 x を t の関数として表現したい。
ただし、おもりと斜面との間には摩擦はないものとする。

つりあいの位置は、 x =

振幅は、

[m]
周期は、

[s]

おもりの位置 x を t の関数としてあらわすと、
x =

おもりをつけて手を離したとき、静止した位置(つりあいの位置)を、x=x₀とする。
斜面に沿った方向(x軸方向)つりあいの式
mgsinθ - k(x₀ - l₀) = 0 ・・・(1)
位置 x における運動方程式
mgsinθ - k(x - l₀) = ma

変形すると、

(1)より
・・・(2)

ここで、
X = x - ( l₀ + x₀ )
とおきかえると、
- kX = ma
変位Xを2階微分したもの(加速度)が、変位に比例して、符号は逆向き、という｢単振動｣の条件を満たす。

つまり、このおもりは、
x = l₀ + x₀
すなわち、｢つりあいの位置｣を中心に、単振動を行う。

時刻t = 0で、｢引き伸ばし｣て、手を放しているから、このとき変位xは最大。
したがって、単振動を表す式は、t = 0で最大となる「cos型」である。
振幅Aは、振動の中心x = l₀ + x₀ から、もっとも引き伸ばしたx = lまでの距離であるから、
A = l - ( l₀ + x₀ )
ここまでで、
x - ( l₀ + x₀ ) = { l - ( l₀ + x₀ ) } cosωt

すなわち
x = { l - ( l₀ + x₀ ) } cosωt + ( l₀ + x₀ )
あとは、｢角振動数｣ωを決めればよい。
このxをtで2階微分すると、
v = - ω { l - ( l₀ + x₀ ) } sinωt
a = - ω² { l - ( l₀ + x₀ ) } cosωt
すなわち
a = - ω² { x - ( l₀ + x₀ )}
運動方程式(2)と比較すると、

[(rad)/s]
したがって、振動の周期T [s]は、
[s]

以上から、このおもりの運動を表す式(変位xを時間tの関数で表した式)は、

「万有引力」

地球の表面から、地表に対して平行な方向に、ある初速度を与えてロケットを発射し、地球の周りを回転する人工衛星とすることを考える。地球は表面が滑らかな球体であると考え、ロケットが障害物に衝突する、などということは考慮しないことにする。
地球の半径を R [m] , 地球の質量を M [kg] , 万有引力定数を G [N・m²/kg²] , ロケットの質量を m [kg] とする。
1. 初速度を、 v₁ [m/s] としたとき、ロケットは地球の表面をすれすれに飛ぶ、円軌道を描いた。つまり、地球の半径とちょうど同じ半径をもつ円軌道で飛んだ、とする。
  - v₁ [m/s] を求めたい。
    
    万有引力を｢向心力｣とする等速円運動の運動方程式（地球上の観測者から見た式）
    ・・・(1)
    
    または、右辺の｢質量×加速度｣を｢移項｣すれば、
    「万有引力と『遠心力』(慣性力)がつりあっている」と見る、つりあいの式（人工衛星上の観測者から見た式）
    ・・・(1')
    
    どちらからでも、v₁ = [m/s]
  - また、｢ケプラーの第3法則｣は、
    ｢惑星の公転周期の2乗は、楕円軌道の半長軸の3乗に比例する｣
    と、述べている。｢円｣は長軸と短軸がともに直径に等しい｢特別な楕円｣と考えれば、ここでの円軌道にもこの法則が適用できるはずである。
    ここで求めた円軌道について、｢ケプラーの第3法則｣が成立していることを、確認したい。
    
    人工衛星の周期T [s] は、円周 2πR [m] を速度 v₁ [m/s] で一周する時間だから、(1)または(1')を用いて、
    T = [s]
    したがって、
    T² =
2. 次に、初速度を、 v₂ [m/s] としたとき、ロケットは、地球の中心を一方の焦点とし、長軸 (1+a)R [m] (ただし、a＞1) の楕円軌道を描いた。
  
  ロケットを発射した地点をA点とすると、この点は、楕円軌道上、地球に最も近い点である。A点に対して、焦点をはさんで反対側の長軸の端をB点とすると、この点は、反対に、楕円軌道上、地球から最も遠い点となる。
  
  B点におけるロケットの速度を V₂ [m/s] として、
  1. ｢ケプラーの第2法則｣、すなわち、｢面積速度一定の法則｣
  2. 力学的エネルギー保存則
  を、A点B点の2地点について適用することにより、 v₂ [m/s] , V₂ [m/s] を計算することができる。。
  
  面積速度一定の法則
  ・・・(3)
  
  力学的エネルギー保存則
  ・・・(4)
  
  したがって、
  v₂ = [m/s]
  V₂ = [m/s]
3. 最後に、初速度を、 v₃ [m/s] としたとき、ロケットは、二度と地球に帰ってこなくなった。
  このようなことが起こる速度 v₃ [m/s] の最小値を求めたい。
  - 【方法1】上で得られたv₂について、aを無限大とすればよい。
    v₃ = [m/s]
  - 【方法2】｢帰ってこなくなった｣とは、｢無限遠点｣まで行ってしまった、と考えればよいから、A点と｢無限遠点｣とでエネルギー保存則を立てる。
    
    v₃ = [m/s]
- 万有引力を｢向心力｣とする等速円運動の運動方程式
  
  ここから、
  
  周期は、
  
  したがって、
  
  公転周期の2乗が、半径の3乗に比例することがわかった。、
- A点、B点における｢面積速度一定の法則｣から、
  ・・・(3)
  A点、B点における｢力学的エネルギー保存則｣から、
  ・・・(4)
  
  (3)より、 v₂ = aV₂ だから、
  
  こうして、 v₂ , V₂ が得られた。
- ｢二度と地球に帰ってこなくなる｣のは、iiにおいて a→∞ のときと言えるから、
  
  あるいは、A点と｢無限遠点｣とでの｢エネルギー保存則｣から、
  
  と、同じ結論が得られる。
「熱力学第一法則」

図のように、なめらかに動くピストンと、熱交換器を備え、熱交換器の部分以外は断熱材でできた装置を考える。

ここに、n[mol]の理想気体分子を封入し、以下のように状態を変化させる。
- 状態A：圧力 P₁[Pa] 、体積 V₁[m³] 、温度 T₀[K]
- 状態B：圧力 P₂[Pa] 、体積 V₁[m³] 、温度 T₁[K]
- 状態C：圧力 P₁[Pa] 、体積 V₂[m³] 、温度 T₂[K]
- ｢状態A｣から｢状態B｣の変化では、ピストンを固定して、体積一定のまま加熱した。
- ｢状態B｣から｢状態C｣の変化では、熱交換器を閉じて断熱状態の下で、ピストンを動かし膨張させた。
- ｢状態C｣から｢状態A｣の変化では、ピストンを外圧 P₁[Pa] とつりあって、自由に動けるようにし、熱交換器によって冷却した。
この過程は、熱を仕事に変換させる｢熱機関｣と考えることができる。これについて以下の問に答えよ。
1. ｢定積モル比熱 C_v [J/mol・K]｣を用いて、気体の内部エネルギーの変化量 U [J] と、絶対温度の変化量 T [K] との関係を求めたい。
  
  「熱力学第一法則」は、
  - 内部エネルギー変化量 U
  - 気体が外部から受け取った熱 Q
  - 気体が外部から受け取った仕事 W
  とすると、
  
  定積変化では、であるから、
  
  したがって、
  C_v =
  したがって、気体の内部エネルギーの変化量 U [J] と、絶対温度の変化量 T [K] との関係は、
2. 温度 T₁[K] と T₂[K] は、どちらが大きいか？
  
  「熱力学第一法則」は、
  
  断熱変化では、であるから、
  
  ここで、状態Bから状態Cへの変化はであるから、
  気体は外部からの仕事を受け取っている。
  したがって内部エネルギーはしており、
  T₁ と T₂ の大小関係は、となる。
3. この｢熱機関｣の効率を、｢定積モル比熱 C_v ｣、｢気体定数 R ｣、および、P₁ , P₂ , V₁ , V₂ を用いてあらわしたい。
  
  A,B,C各状態について、「理想気体の状態方程式」をたて、 T₁ , T₂ を T₀ であらわす。
  A:
  B:
  C:
  
  T₁ =
  T₂ =
  
  これを用いて、下の表にまとめると、
  
  U Q W
  
  A-B
  
  B-C
  
  C-A
  
  ｢熱効率｣ e は
  
  e= ｢熱機関｣が外部になした正味の仕事
  
  ｢熱機関｣が外部から受け取った熱
  
  であるから、
  e =

熱力学第1法則から、
U = Q + W
ただし、
- U：気体の内部エネルギー増加量[J]
- Q：気体が外部から受け取った熱[J]
- W：気体が外部から受け取った仕事[J]
｢定積変化｣においては、 W = 0 であるから、
U = Q
したがって、定積モル比熱 C_V は、次のように書ける。

よって、
U = nC_VT
熱力学第1法則から、
    U = Q + W
｢断熱変化｣においては、 Q = 0 であるから、
    U = W
ここで、状態Bから状態Cへの変化は｢膨張｣であるから、気体は外部から負の仕事を受け取っており、
    W  0

したがって、
    U = nC_VT   0
となり、この過程で温度が減少したことがわかる。

よって、T₁T₂
U Q W

A→B 温度上昇(+)
吸熱(+)
0

B→C 温度下降(-)
0 膨張(-)

C→A 温度下降(-)
放熱(--)
圧縮(+)

A,B,C各状態での状態方程式から、

T₁T₂だから、

｢熱効率｣ e は

e= ｢熱機関｣が外部になした正味の仕事

｢熱機関｣が外部から受け取った熱

であるから、

e=	｢熱機関｣が外部になした正味の仕事

	｢熱機関｣が外部から受け取った熱

	U	Q	W
A→B	温度上昇(+)	吸熱(+)	0
B→C	温度下降(-)	0	膨張(-)
C→A	温度下降(-)	放熱(--)	圧縮(+)

	U	Q	W
A-B
B-C
C-A