- 水平に置かれたバネ
バネ定数kのバネを水平に置き、一端を固定して他端に質量mのおもりをつける。
ばねの延びる方向にx軸をとり、自然長をx=0とする。
時刻t=0に、x=Aまでバネを引っ張り、手を離す。
- 運動方程式:-kx=ma
初期条件:t=0で、x=A
- x=Acosωt
v=-ωAsinωt
a=-ω2Acosωt=-ω2x
| 重力による 位置エネルギー | 弾性力による 位置エネルギー | 運動エネルギー | | 合計 |
変位x | - | kA2cos2ωt | m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt | | kA2 |
x=A | - | kA2 | 0 | | kA2 |
x=0 | - | 0 | mω2A2=kA2 | | kA2 |
- 鉛直に置かれたバネ
バネ定数kのバネを天井からつり下げ、下端に質量mのおもりをつける。
鉛直下方にx軸をとり、自然長をx=0とする。
つりあいの位置をx=x0とする。
時刻t=0に、つりあいの位置からさらにA、すなわちx=x0+Aまでバネを引っ張り、手を離す。
- 単振動を行わせる前の、つりあいの式:-kx0+mg=0
すなわち
- 単振動をはじめたあとの、運動方程式:-kx+mg=ma
初期条件:t=0で、x=x0+A
- 運動方程式を変形して、
すなわち -k(x-x0)=ma
X=x-x0 と置き換えると、 -kX=ma
したがって、X=Acosωt すなわち、x=Acosωt+x0
- x=Acosωt+x0
v=-ωAsinωt
a=-ω2Acosωt=-ω2(x-x0)
重力による位置エネルギーの基準面を、x=0(自然長)として、エネルギー保存則を考えると、
| 重力による 位置エネルギー | 弾性力による 位置エネルギー | 運動エネルギー | | 合計 |
変位x (*1) | -mgx =-mg(Acosωt+x0) | kx2 =k(Acosωt+x0)2 | m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt | | k(A2-x02) |
x=x0+A (*2) | -mg(x0+A) | k(x0+A)2 | 0 | | k(A2-x02) |
x=x0 (*3) | -mgx0 | kx02 | mω2A2=kA2 | | k(A2-x02) |
- (*1)の計算経過
- (*2)の計算経過
- (*3)の計算経過
重力による位置エネルギーの基準面を、x=x0(つりあいの位置)として、エネルギー保存則を考えると、
| 重力による 位置エネルギー | 弾性力による 位置エネルギー | 運動エネルギー | | 合計 |
変位x (*1') | -mg(x-x0) =-mgAcosωt | kx2 =k(Acosωt-x0)2 | m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt | | k(A2+x02) |
x=x0+A (*2') | -mgA | k(x0+A)2 | 0 | | k(A2+x02) |
x=x0 (*3') | 0 | kx02 | mω2A2=kA2 | | k(A2+x02) |
- (*1')の計算経過
- (*2')の計算経過
- (*3')の計算経過