物理I・ころぶか？、すべるか？(20130116)

一辺の長さLの正方形の、厚さは無視できるほど薄い、質量Mの均質な金属板がある。
これ正方形の一辺に垂直な線に沿って、3分の1のところで折り曲げて、L字型にする。
これを図のように板の上にのせ、板と水平面のなす角θを0から次第に大きくしていく。
1. 転倒するより、先に滑りはじめるための、板と金属板の間の静止摩擦係数μの満たすべき条件は？
2. 滑りはじめるより、先に転倒する場合、転倒するときのθの大きさは？
(2)[力と運動・力のモーメント](2010本1_4)

鉛直方向（つりあいの式）
・・・(1)
水平方向（つりあいの式）
・・・(2)
L字型の角をA点としたとき、A点まわりモーメントつりあいを考える。
問題は、垂直抗力Nの作用点がわからないことだ。これをA点からxの位置にあるとする。
・・・(3)
静止摩擦力に関する条件
・・・(4)

未知数 f , N , x に対して、条件式(1)(2)(3)であるから、解ける。
(2)より、
・・・(2')
(1)に代入して、

すなわち、

(2')より、

これらを(3)に代入して、
滑るよりも先に転倒するならば、転倒する瞬間、垂直抗力Nの作用点は、L字型の角、A点になっている、すなわち x = 0 であるから、
このときの角度を、θ=θ₁とすれば、
一方、静止摩擦力に関する条件(4)から、

滑り始める角度は、この式の等号が成立するときだから、これをθ=θ₀とすれば、
つまり、
- θ₀がθ₁より小さければ、転倒するより先に滑り始め、
- θ₀がθ₁より大きければ、滑り始めるより先に転倒する、
ことがわかった。