センター物理T・DVDテキスト(vol.1／｢力と運動･エネルギー｣編)

    単位と次元

  1. 1[単位と次元](2008本1-6)























    ｢力のつりあいの式｣･｢運動方程式｣の立て方

    • 運動の法則
      1. 質点に外力が作用しないとき、その質点が静止していたときは静止し続けるが、速度を持っていたときは、その速度のまま等速直線運動を行う。(慣性の法則)
      2. 質点に外力が作用するとき、質点には、作用した外力と同じ方向で、その大きさに比例した加速度が発生する。(運動の法則)
      3. 2個の質点の間に力が作用するとき、どちらを基準に観測するかによって、大きさが同じで向きが反対の2つの力が観測される。一方を｢作用｣と呼び他方を｢反作用｣と呼ぶ。(作用・反作用の法則)
        ｢質点｣というのは、｢質量だけあって、大きさのない点｣という意味。｢回転運動｣を処理できない高校の物理では、物体はすべて｢質点｣として扱われる。

      @とAは実は同じことを言っている。質点に作用する外力の合力を    、発生する加速度を    とすれば、
          =m  
      これは｢運動方程式｣だが、この式は、次のように｢読む｣ことができる。
      1.     が0なら    も0である。つまり、｢外力の合力が0ベクトルならば、加速度は発生しない」、これが｢慣性の法則｣であり、  =0  を｢つりあいの式｣という。
      2.     が0ベクトルでないなら、    は    の定数倍である。つまり、｢外力の大きさに比例した、同じ方向の加速度が発生する｣、これが｢運動の法則｣である。

      力は｢ベクトル量｣だから、2つの方向に分解できる。加速度の方向と、それに直交する方向に分解すると、一方が｢運動方程式｣、他方が｢つりあいの式｣になって便利だ。

    • 運動方程式の立て方
      • 運動方程式は、原則として、各物体ごとに立てる。
        2個以上の物体をまとめて1個の｢系(システム)｣として扱うこともできるが、このときは、物体相互間に働く力は、｢外力｣ではなく｢内力｣になる。

      • ｢力｣の発見の仕方。
        1. 力は原則として、直接触れ合ったものからしか作用しない(近接作用の法則)。
        2. 離れていても作用する、ほぼ唯一の例外が、重力(遠隔作用の法則)。
        3. ｢作用｣があればかならず｢反作用｣がある。
        現代物理学では｢遠隔作用｣の存在は否定されている。でも、高校で扱う物理学は、｢19世紀｣までのものだから問題ない。

      • ｢連立方程式｣の理論。おおざっぱに言うと、｢未知数の個数と条件式の個数が等しいとき、連立方程式は、解ける｣。だから、求めたい未知数の数だけ、条件式を｢探せば｣よい。












    エネルギー保存則

    • 自然界をつかさどる、２大法則〜熱力学第１法則・熱力学第２法則

      • 熱力学第１法則(エネルギー保存則)：｢閉鎖系｣ではエネルギーは保存される。

      • 熱力学第２法則(エントロピー増大則)：｢開放系｣ではエネルギーは散逸し、熱として逃げたエネルギーを再びすべて仕事に変えることは、絶対に不可能である。
      ｢閉鎖系｣とは外部とのエネルギーのやり取りのない世界、｢開放系｣とは外部とのエネルギーのやり取りがある世界。斜面を物体が滑り降りる場合を考える。摩擦がなければエネルギーは保存される。でも、実際には摩擦は必ず存在し、エネルギーは熱となって逃げていく。この熱は周りの空気を温め(空気を構成する分子の運動エネルギーに変えられ)、｢系｣から離れていく。

    • では、｢エネルギー｣とは何か?語源からみるとそれは｢力の源｣みたいな意味になる。｢相手にダメージを与えることのできる潜在的な能力｣と考えるとよい。


      • 高いところにある物体は、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。
        その物体が落ちてくれば、下にあるものを壊すことができるからだ。
        これを｢重力による位置エネルギー｣という。

      • 速度を持っている物体は、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。
        その物体がぶつかれば、そこにあるものを壊すことができるからだ。
        これを｢運動エネルギー｣という。

      • 縮められたばねは、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。
        そのばねの先におもりをつけて弾き飛ばせば、その先にあるものを壊すことができるからだ。
        これを｢弾性力による位置エネルギー(弾性エネルギー)｣という。


      重力による位置エネルギー
      基準面から高さh[m]の位置にいる、質量m[kg]の物体がもつ
      重力による位置エネルギー[J]      		 P=mgh[J]
      運動エネルギー
      速さv[m/s]で運動している、質量m[kg]の物体がもつ運動エネルギー[J]      		 K=mv2[J]
      弾性力による位置エネルギー
      自然長からx[m]だけ、伸ばされまたは縮められたばねに蓄えられた
      弾性力による位置エネルギー[J]      		 W=kx2[J]


      ｢エネルギー｣、｢仕事｣、｢熱｣の本質は同じであり、いずれもジュール[J]という単位で量られる。
      ｢仕事｣の定義：力[N]と変位[m]のベクトルの内積[J=N・m]である。
      物体に力を加え移動させるとき、移動方向の力の成分しか仕事をしない。
      W=・=||||cosθ
      • 仕事(エネルギー)はスカラー量である。
      • θが鈍角なら、仕事は負の値をとる。
      • θ=0,πで仕事の｢絶対値｣は最大である。


    • [参考]では、これらを求めてみよう。
      • 重力による位置エネルギー
        基準面からの高さh[m]にある質量m[kg]の物体はmgh[J]のエネルギーをもつ。
        これは、基準面から、h[m]の高さまで、重力mg[N]につりあう外力で持ち上げたとき、外力が物体に対してなした仕事に等しい。

      • 運動エネルギー
        速度v[m/s]で運動する質量m[kg]の物体は、mv2[J]のエネルギーをもつ。
        これは、運動している物体に対して外力を加え、これを静止させるまでに外力がなした仕事に等しい。
        速度v0[m/s]で運動する物体に、速度の方向と逆向きに大きさFの一定の外力を加えたとすると、運動方程式は-F=ma[N]であるから、加速度、速度、変位は以下のように書ける。

        物体を静止させるまでにかかる時間は、t=t0でv=0とすると、

        物体を静止させるまでに要する距離をsとすると、

        したがって、物体を静止させるまでに外力のなした仕事は、

      • 弾性力による位置エネルギー
        自然長からx[m]だけ、伸ばされ、または縮められたばねには、kx2[J]のエネルギーが蓄えられる。
        ばねは、伸ばそうとすると縮み、縮めようとすると伸びる。外部から加えられた変形に対して、これを元に戻そうとする力を｢復元力｣という。
          F=-kx  (復元力に関するフックの法則:｢変形を加えると、変形の大きさxに比例し、かつ、これと反対向きの力が発生する)
        では、この力｢弾性力｣とちょうどつりあうような外力kxを加えながら、ばねの伸びが0からx0になるまで引っ張ったときに外力がする仕事は、





















  2. 311[力と運動・運動方程式、動摩擦力のする仕事](2007本4a)





  3. 132[力と運動・運動方程式、弾性エネルギー](2003本2b)



  4. 7[力と運動・運動方程式](2008本1-4)










  5. 254621[力と運動・運動方程式(2体問題)](2001本2)











  6. 414[力と運動・運動方程式(2体問題)](2006追4a)








    力のモーメント

    • 大きさのある｢剛体｣の力学では、
      1. 物体が直進運動しないこと：｢力のつりあいの式｣
      2. 物体が、どこを中心にしてでも、決して回転運動しないこと：｢モーメントつりあいの式｣
      これらの｢連立方程式｣を解くことになる。
      どこを中心にしてでも、決して回転運動しないのだから、モーメントの｢中心｣はどこにとってもいい。力の｢作用線｣が通っている点を｢中心｣に選べば、その力のモーメントは0になるから、計算がらくだ。
    • 力のモーメント
      • その｢大きさ｣は、力の大きさに、中心から力の作用線までの距離をかけたものになる。
      • その｢方向｣は、中心に対して物体を｢反時計回りに回転させるか?／時計回りに回転させるか?｣で決める。

    • 練習：質量m[kg]の均質な棒が、壁面に立てかけられている。床との間には摩擦があり、静止摩擦係数はμである。壁面との間には摩擦がない。棒が滑ってしまわない最小の傾斜角θを求めよ。

      鉛直方向・つりあいの式  mg-N2=0
      水平方向・つりあいの式  f-N1=0
      A点まわりのモーメントつりあいの式  mg・lcosθ-N1lsinθ=0
      最大静止摩擦力の式  f≦μN2



  7. 24[力と運動・力のモーメント](2005追2b)



    浮力の仕組み

    液体中にある物体には、その物体が押しのけた液体の重さにあたる｢浮力｣が作用する(アルキメデスの原理)。

    これを、以下の例で確認しよう。断面積S[m2]、高さd[m]、密度ρ[kg/m3]の円柱形の物体が、密度ρ0[kg/m3]の液体の中に浸かっている。物体の上面がちょうど深さh[m]のところにあるとしよう。大気圧はP0[Pa=N/m3]とする。

    この物体に作用する力について、鉛直方向のつりあいの式を立てる。

    ところで、｢圧力｣とはなんだろうか?単位[Pa=N/m2]からは、｢単位面積当たりに作用する力の大きさ｣と読める。
    ｢気圧｣とは、私達の上にのっかている大気圏の果てまでつながった｢空気の柱｣の重さを、その作用する面積で割ったものだ。地球の周りの大気圏の厚さ、高さにもとづく密度の変化のパターンは、地球上のどこでもほぼ同じだろうから、地表面(平均海水面)での大気圧はほぼ1013hPaという定数となっている。

    液体や気体のような粘性の小さい流体では、物体の陰にも回りこんで、表面は平らになるから、障害物のあるなしに関わらず、その圧力はその面より上にある流体の層の厚さだけで決まる。
    水面からh[m]の深さでの｢水圧｣P1[Pa]を計算しよう。
    面積S[m2]の物体の上にのっかっている水の重さ(重力)はρ0Shg[N]だから、圧力はこれを面積で割って、P1=ρ0hg[Pa]、
    同様に、水面から(h+d)[m]の深さでの｢水圧｣P2[Pa]は、P2=ρ0(h+d)g[Pa]、
    物体には、鉛直下向きに重力が作用する。ρSdg
    物体の上面には、鉛直下向きに、大気圧および水圧による力がかかる。(P0+P1)×S=P0S+ρ0Shg
    物体の下面には、鉛直上向きに、大気圧および水圧による力がかかる。(P0+P2)×S=P0S+ρ0S(h+d)g
    物体が沈んでしまわないために、鉛直上向きに、外力Fを加えて支えたとする。F

    つりあいの式は、
    ρSdg+P0S+ρ0Shg-P0S-ρ0S(h+d)g-F=0
    まとめると、
    ρSdg-ρ0Sdg-F=0
    この式の第2項ρ0Sdg[N]が｢浮力｣の正体である。まさに｢押しのけた液体の重さ｣となっているだろう？

    ρ＞ρ0ならば、F＞0であり、手を離せば物体は沈む。
    ρ＜ρ0ならば、F＜0であり、手を離せば物体は浮かび上がる。


  8. 3[力と運動・浮力](2006本1_5)



    熱の移動･｢ボイル･シャルルの法則｣・熱力学第1法則

    • 比熱・熱容量

      • 比熱：物質1gの温度を1℃上昇させるのに必要な熱量c[J/(g・℃)]

      • 熱容量：身の回りにある物体は、単一の物質でできていることはむしろ珍しく、いくつかの異なった、したがって比熱の異なる物質でできていることが多い。そこで、そのようなさまざまな物質でできている｢物体｣をひとまとめにして、その温度を1℃上昇させるのに必要な熱量を、熱容量C[J/℃]とした。

      • 高温物体と低温物体を接触させ、十分な時間が経過すると、両者は等しい温度(平衡温度)に達する。 ｢外部｣への熱の散逸のない｢閉鎖系｣で考えると、この現象は次のように｢説明｣できる。
        温度T1の高温物体と、温度T2の低温物体が接触し、どちらも温度T0になった。
        これは、高温物体が失った熱が、すべて低温物体に移動したからだ。
        ｢外部｣に熱が逃げていないとすれば、高温物体が失った熱と、低温物体が受け取った熱は、等しいはずだ!

      • ｢相変化｣にともなう熱の移動
        固体⇔液体⇔気体、と物質が変化する際に熱の移動がともなう。

        固体は、物質を構成する粒子が規則正しく配列し、粒子間の相互作用の力(分子間力、イオン間の静電引力など)によって強く拘束されている。
        気体では、物質を構成する粒子は、ほぼその相互作用の影響を受けないほど大きな空間に広がり、高速で運動している。
        液体では、これらの中間的な状態で、粒子間の相互作用を受けつつ、ある程度広い空間の中を動くことができる。

        粒子の持つエネルギーは、固体・液体・気体の順に大きくなる。
        固体から液体にするのに、外部から加えなければならないエネルギーを｢融解熱｣、 液体から気体にするのに、外部から加えなければならないエネルギーを｢蒸発熱｣という。

    • ボイル・シャルルの法則

        気体の状態を記述する変数は、圧力P[Pa=N/m2]、体積V[m3]、温度T[K]の3つである。それらの相互関係を明らかにしたのが、以下の法則である。

      • ボイルの法則
        温度が一定であれば、気体の圧力と体積は、反比例する。
        PV=c

      • シャルルの法則

        圧力が一定であれば、気体の占める体積は、温度が1℃上昇するごとに、0℃での体積を基準にして、その1/273だけ増加する。

        t℃における体積をv(t)とすると、左のように書ける。この、原点を通らない1次関数は、何かと扱いにくいので、温度の定義を変え、これを平行移動して原点を通る比例関係にした。
        元来「摂氏・セルシウス」温度は、人間のもっとも身近に存在して、かつ容易に3態変化を示す「水」という物質の、沸点と凝固点を基準にして、これを便宜的に100等分して設定されたものである。
        目盛りの幅はそのままに、摂氏マイナス273度をあらたに0度（絶対0度・単位[K]ケルビン）とすれば、


        圧力が一定であれば、気体の圧力は、絶対温度に比例する、といえる。
        V/T=c

        従って、絶対0度では、気体は体積を持たない。もちろんこれは「理想気体」における想定であって、「実在気体」では、(1)気体分子に大きさがあり、(2)分子間力が作用するから、冷却しても、絶対0度になる以前に、「凝縮」して液化する。

      • ボイル＝シャルルの法則

        温度が一定であれば、気体の圧力と体積は、反比例する。
        圧力が一定であれば、気体の圧力は、絶対温度に比例する。

        という二つの事実から、ただちに次のことが言える。
        いかなる温度・圧力においても、圧力と体積の積を絶対温度で割った商の値は一定である。すなわち、


      • P-Vグラフの見方（もう一つの変数Tはどこに表されているか？）
        ボイル・シャルルの法則より、一定温度の理想気体の圧力と体積は、反比例する。したがって、縦軸に圧力P、横軸に体積VをとったP-Vグラフ上では、同じ温度を結んだ「等温線」は反比例のグラフ（直角双曲線）として表される。
        状態方程式を見れば明らかなように、PVの積に比例して、Tも大きくなるから、「等温線」は座標軸から離れるほど、高温を表していることになる。


      • 気体がする仕事

        [J]=[N・m]=[(N/m2)・m3]=[Pa・m3]であるから、気体が外部に対してする仕事は、

        で表される。

        dv＞0すなわち「膨張」のとき、「正の仕事」
        dv＜0すなわち「圧縮」のとき、「負の仕事」

        であり、これは、P-Vグラフ上の曲線下の面積で表される。
        AからBへ（膨張）
        BからAへ（圧縮）




    • 熱力学第1法則



      • U:内部エネルギーの増加量[J]
        言葉の定義上、「増加」したとき「プラス」、「減少」したとき「マイナス」の値をとる。
        「内部エネルギー」は「絶対温度」のみの関数であり、「絶対温度」に比例するから、「増加」は「温度上昇」、「減少」は「温度下降」に対応する。

      • Q:外部から受け取った熱[J]
        「吸熱」・「熱を（外部から）受け取った」とき「プラス」、「放熱」・「熱を（外部に）与えた」とき「マイナス」。

      • W:外部から受け取った仕事[J]
        「圧縮」すなわち「外部」が「気体」に対して「正」の仕事をしたとき「プラス」、「膨張」すなわち「気体」が「外部」に対して「正」の仕事をしたとき、言いかえれば、「外部」が「気体」に対して「負」の仕事をしたとき、「マイナス」


        「気体」が「外部」から受け取る仕事は、上の式で表される。
        マイナスがついているのは、「体積増加量」dVがプラスのときは、「気体」が「外部」に対して「正」の仕事をした、すなわち「膨張」に当たるからだ。


      以上から、「熱力学第1法則」は、次のように「読む」ことができる。すなわち、

      気体の「内部エネルギー」が増加したとすれば、その原因は、外部から「熱」を受け取ったか、もしくは、外部から「仕事」を受け取ったか、に限られる。






      1. 定積変化(dV=0すなわちW=0)

        体積の変化がないから、気体は仕事をしない。従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。

        ΔU=Q

      2. 定圧変化

        定圧変化では、「熱力学第1法則」の3項のうち、いずれも0とはならない。しかし、仕事Wは、圧力Pが体積Vにかかわらず一定であることから、積分記号の外に出すことができ、次のように書ける。

        従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。

        ΔU=Q-PΔV

      3. 等温変化(ΔT=0すなわちΔU=0)

        内部エネルギーは絶対温度のみの関数であり、従って「等温変化」においては、内部エネルギー増加量ΔUはゼロである。
        従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。

        0=Q+W

      4. 断熱変化(Q=0)

        断熱変化においては、熱の出入りがないので、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。

        ΔU=W

        では、｢断熱変化｣のグラフはどんなグラフだろう?

        「断熱膨張」をおこなったとしよう。「熱力学第1法則」の右辺はWのみであり、「膨張」においては「気体」が「外部」に「正」の仕事をしているから、「気体」は「外部」から「負」の仕事を受け取ったことになり、右辺は「負」である。
        左辺は「内部エネルギー増加量」であるから、これが「負」であるなら、減少したことになる。内部エネルギーは絶対温度のみの関数であり、これに比例するから、温度が下がったことになる。すなわち、「断熱膨張により、温度は下がる」、まったく逆の推論をおこなえば、「断熱圧縮により、温度は上がる」

        ボイルの法則で、Tが一定ならば、PとVは反比例の関係に立つ。縦軸P横軸VのP-Vグラフを描けば、直角双曲線となるが、一定値Tが大きくなればなるほど、つまり高温になるほど、この双曲線は座標軸から離れる。
        「断熱膨張」においては、横軸V、体積増加とともに、温度が下降し、より座標軸に近い等温線に、乗り移る。
        「断熱圧縮」においては、横軸V、体積減少とともに、温度が上昇し、より座標軸に遠い等温線に、乗り移る。















        P-Vグラフ熱力学第1法則
        定積変化A→B

        ΔU=Q
        (+)
        温度上昇        		(+)
        吸熱
        B→A

        ΔU=Q
        (-)
        温度下降        		(-)
        放熱
        定圧変化A→C

        ΔU=Q+W
        (+)
        温度上昇        		(+)
        吸熱        		(-)
        膨張
        C→A

        ΔU=Q+W
        (-)
        温度下降        		(-)
        放熱        		(+)
        圧縮
        等温変化B→C

        0=Q+W
        (+)
        吸熱        		(-)
        膨張
        C→B

        0=Q+W
        (-)
        放熱        		(+)
        圧縮
        断熱変化B→D

        ΔU=W
        (-)
        温度下降        		(-)
        膨張
        D→B

        ΔU=W
        (+)
        温度上昇        		(+)
        圧縮






    圧力･｢ボイル･シャルルの法則｣







  9. 3134[力と運動・｢ボイル・シャルルの法則｣](2005追3)

    熱力学第1法則





  10. 643[エネルギー・熱力学第1法則](2004追3)






  11. 216[エネルギー・熱力学第1法則](1999本3b)





  12. 134[エネルギー・熱力学第1法則](2006本4c)



    熱の移動・エネルギー変換






  13. 413[エネルギー・熱の移動](2000本3a)


  14. 34[エネルギー・エネルギーの変換](2002本1_2)