• 【方法A】お茶の「全量」が失った熱量が、「一つ目」の湯飲みが受け取った熱量Q_Aに等しい。
  第1段階の平衡温度をT_A1とすると、
  Q_A=C₂(T_A1-T_L)
  C₁(T_H-T_A1)=C₂(T_A1-T_L)
  
  これは、T_HT_Lを、C₂:C₁に、内分したものに他ならない。
  
• 【方法B】お茶の半分の量が失った熱量が、一方の（たとえば、後に「空になった」方の）湯飲みが受け取った熱量Q_Bに等しい。
  第1段階の平衡温度をT_B1とすると、
  Q_B=C₂(T_B1-T_L)
  C₁(T_H-T_B1)=C₂(T_B1-T_L)
  すなわち、
  C₁(T_H-T_B1)=2C₂(T_B1-T_L)
  
  これは、T_HT_Lを、2C₂:C₁に、内分したものに他ならない。
  

• 【方法A】温度T_A1の高温物体であるお茶の「全量」が、温度T_Lの低温物体である「二つ目の湯飲み」に接触する。
  第2段階の、すなわち最終的な、平衡温度をT_Aとすると、
  C₁(T_A1-T_A)=C₂(T_A-T_L)
  
  これは、T_A1T_Lを、C₂:C₁に、内分したものに他ならない。
  
  
• 【方法B】温度T_B1であるお茶の半量が、やはり温度T_B1であるもうひとつの「まとめ」られた方の「湯飲み」に接触する。
  ここには温度差が、ない！、したがって、熱の移動は生じない！
  だから、第2段階の、すなわち最終的な、平衡温度T_Bは、T_B1に等しい。
  T_B=T_B1
  

• 「強引に」計算する方法も、なくはない。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

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• グラフから、もう少し「直感的」（！）に理解する方法は？

T=T_H-T_L
T_A=T_A-T_L
T_B=T_B-T_L
とおくと、
• T_Aは、Tを倍に縮小した後、再び、倍に縮小したもの
  すなわち、()²倍に縮小したものだ。
• T_Bは、Tを、ただ一度だけ、倍に縮小したものだ。
どちらが大きいかを、「帰納的」（！）に調べてみると、おそらく、「湯飲み」という固体に比べて、液体の水のほうが熱容量は大きい、と考えてよいだろうから、
• たとえば、C₁ = 2 ,  C₂ = 1 ならば、
  T_A=()²T=T0.44T
  T_B=T=0.5T
• たとえば、C₁ = 3 ,  C₂ = 2 ならば、
  T_A=()²T=(9/25)T=0.36T
  T_B=T0.43T
そんな、ひとつ二つの例だけでは、もちろん、証明になっておらず、一般的に成り立つなどとはいえない。
でも、数字の選び方、この場合、それぞれの熱容量に影響を及ぼすお茶の量や、「湯飲み」の材質によって、コロコロ結果が変わるのだったとしたら、こんな出題の仕方はされていないはずだ（！）、という、ずるい見方、もありうる。

念のため、熱容量の大小関係が逆転、という「異常」な事態についても調べてみると、
• たとえば、C₁ = 1 ,  C₂ = 2 ならば、
  T_A=()²T=T0.11T
  T_B=T=0.2T
と、もちろん、成立している。

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• 不等式の証明としても、こちらのほうが、少し、楽。
  

(3)(理科総合A・2009本試験第3問の一部)

• 熱量計（「断熱容器やかくはん棒、ひも、温度計の熱容量は無視できる」、とあるから、「水」、といっても同じだが）の熱容量をC[J/K]、
  金属A、金属Bの比熱をそれぞれc_A,c_B[J/K・g]、
  二つの金属は「同じ質量」とあるから、これをm[g]としよう。
• それぞれの金属が失った熱量と、熱量計が得た熱量が等しいから、
  • mc_A(100-29)=C(29-25)・・・(1)
  • mc_B(100-34)=C(34-25)・・・(2)
  すなわち、
  • 71mc_A=4C・・・(1')
  • 66mc_B=9C・・・(2')
  
  
  
• これは、
  • 100と25を、C : mc_Aに「内分」した点が、29、
  • 100と25を、C : mc_Bに「内分」した点が、34、
  と読むことができる。
  • C : mc_A=(100-29):(29-25)
  • C : mc_B=(100-34):(34-25)
  すなわち、
  • C : mc_A=71:4
  • C : mc_B=66:9
  したがって、
  • 71mc_A=4C・・・(1')
  • 66mc_B=9C・・・(2')