数学的な予備知識

• スカラー量とベクトル量
  
  
  • スカラー量：「大きさ」のみを問題にする量。ただし、「正負」はある。1次元の数直線に対応することができる量。
  • ベクトル量：「大きさ」と「方向」を問題にする量。ただし、「位置」は問題にしない。平行移動して重なるものは、「同じ」ベクトルである。
  
  
  

  スカラー量	ベクトル量
  時間t[s] 質量m[kg] エネルギーW[J]	変位x[m] 速度v[m/s] 加速度a[m/s2] 力F[N] (運動量mv[kg・m/s]) (力積Ft[m・s]) 力のモーメントFx[N・m]
  (絶対温度T[K]) 体積V[m3]	圧力P[Pa=N/m2]
  電荷q[c] 電位V[V]	(電場E[N/c=V/m]) (磁場H[N/wb=A/m]) (磁束密度B[wb/m2])

  カッコが付けてあるのは、は物理�Uの内容

  
  
• SI(Standard International)単位系
  
  長さ[m]、質量[kg]、時間[s]、を3つの基本単位として、その他の単位はすべてこれらの「掛け算」または「割り算」として表現できる。3つの頭文字をとってMKS単位系と呼ぶ。電磁気学では、これに電流[A]を加える(MKSA単位系)。
  
  例えば、「力」の単位[N]は、「運動方程式」  F=ma から
        [N=kg・m/s²]
  「仕事」の単位[J]は、「仕事の定義」  W=Fx から
        [J=N・m=kg・m²/s²]
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 「物理法則」のでき方
  
  おもな物理法則は、「経験則」である。ほとんどが、「比例」または「反比例」という単純な数式になっている。別に不思議なことではなくて、人間はそれぐらいの単純な関係しか見抜けないからだ。
  
  条件を変えて繰り返し実験してみたところ、ある量とある量に「比例関係」があることが「発見」された。
  
  例えば「オームの法則」  V=IR  。電圧Vと電流Iに比例関係があるらしいことがわかった、とする。だから「比例定数」をRにした。この段階でRの「意味」はわからない。一定の電圧に対して、電流を妨げるはたらきをするようだから「抵抗」と名づけた。単位はどうするか?「比例定数」の単位には本来「意味」があるはずがない。式の両辺が「つじつまが合う」ように調整しただけだ。だから、Rの単位は、[V/A]でよかったのだが、これにこの重要な法則の発見者にあやかって新しい名前[Ω=V/A]をつけただけだ。
  
  ところが、今度はこの「抵抗」の性質について詳しく調べていくと、同じ材質の金属を使った場合、長さl[m]に比例して、断面積S[m²]に反比例することがわかった。
  
  そこでその「比例定数」をρとした。その単位は両辺の単位がそろうように、[Ω・m]となり、これには特に名前は付けなかった。この、オーム×メートルという単位をいくら眺めていても、この定数の「意味」は見えてこない。当たり前だ、単につじつま合わせしただけだから・・・。
  さて、抵抗の持つ「属性」のうち、「長さ」でも「断面積」でもないものが、このρのなかにこめられている。それは、抵抗を作っている金属の種類、などの「材質」によるものだろう。だから、「材質」によって決まる「定数」として、「抵抗率」と呼ぶことにした。
  
  こんな風にして「物理法則」はできていく。
  
  「物理法則」が発見されるときは、一見全然性質が異なるものの間に「比例関係」が見つけられたりすることが多いから、「比例定数」の単位も複雑なものになる。
  復元力に関する「フックの法則」
    F=-kx  
  この場合のkの単位は
    [N/m=(kg・m/s²)/m=kg/s²]
  というわけのわからないものになる。
  
  同じ性質のものの間の比例関係を扱った式では、比例係数に単位がないものもある。
  動摩擦力[N]と垂直抗力[N]の比だから、動摩擦係数μ'には単位がない。
    f=μ'N
  
  では、「運動方程式」  F=ma  はどうだろう?
  これは、「外力と加速度は比例する、その比例係数が質量である」と、読めなくもないが、普通は、「外力」、「質量」、「加速度」という、いずれも実体のある3つの量の間の関係を表したものといえるだろう。すなわち、
  
  「質量mの物体に外力Fが作用すると、これに比例した加速度aが発生する。」
  
  となる。「比例係数」はどうなったのだろう?
  あまりにも重要な「法則」だから、「比例係数」がなくてもすむように[N](ニュートン)という新しい「単位」を決めたのだ、ということになるだろう。
  
  
  
• 「微分」・「積分」とは何か？
  
  

  微分とは、『細かい割り算』のことである。 タテ軸の変量を横軸の変量で微分すると、グラフの接線の傾きが得られる。 タテ軸の変量が横軸の変量に『比例』しているという特別な場合は、別に微分と大げさに言わなくても、割り算すれば、その直線の傾きが得られる。	積分とは、『細かい掛け算の足し算』のことである。 タテ軸の変量を横軸の変量である区間について定積分すると、グラフより下にある部分の面積が求められる。 タテ軸の変量が定数であるという特別な場合には、別に積分と大げさに言わなくても、掛け算すれば長方形の面積が得られる。
  『道のり』を『時間』で割れば、『速度』だ、と教えられた。 でも、正確に言うとそうではなくて、『変位』を『時間』で微分したものが、『速度』だ。	『仕事』は、『力』かける『移動距離』だ、と教えられた。 でも、正確に言うとそうではなくて、『力』を『変位』で積分したものが、『仕事』だ。

  
  
  
  

  単位が『割り算』の形をしていたら、それは、『微分』だと思えばいい。 たとえば、加速度a[m/s2]は、速度v[m/s]を時間t[s]で『微分』したものである。 単位が『かけ算』の形をしていたら、それは、『積分』だと思えばいい。 たとえば、エネルギーW[J=N・m]は、力F[N]を変位x[m]で『積分』したものである。

  
  
  
  • [例1]  地上から真上(y方向)に質量の物体m[kg]を初速度v₀[m]で投げ上げる。最高点に達する時間と、そのときの高さは?
    
    

    運動方程式	-mg=ma
    -------------	-----------------
    加速度[m/s2]	a=-g	順次tで積分すると次の式が得られる。 不定積分には「積分定数」が表れるが、 t=0のときの速度、変位の値がこれにあたる。
    速度[m/s]	v=-gt+v0
    変位[m]	y=-gt2+v0t

    
    「最高点」では、「速度」が0であることから、そのときのtを求めることができる。これを「変位」の式に代入すれば、そのときの高さがわかる。
    
    
    
    
  • [例2]  ばね定数kのばねに外力を加え、自然長からx₀[m]まで引き伸ばした。このときばねに蓄えられた弾性力による位置エネルギーは?
    
    

    ばねは、伸ばそうとすると縮み、縮めようとすると伸びる。外部から加えられた変形に対して、これを元に戻そうとする力を「復元力」という。   F=-kx  (復元力に関するフックの法則:「変形を加えると、変形の大きさxに比例し、かつ、これと反対向きの力が発生する) では、この力「弾性力」とちょうどつりあうような外力kxを加えながら、ばねの伸びが0からx0になるまで引っ張ったときに外力がする仕事は、[J]=[N・m]だから、「力」を「変位」で積分すればよい。

    
    
    
    
    
  • [例3]  大気圧P₀[Pa]とつねにつりあいながら滑らかに動くピストンの付いた容器に気体を閉じ込め、加熱して、体積をV₁からV₂に変化させた。このとき、気体が外部にした仕事は?
    
    

    [J]=[N・m]=[Pa・m3]  だから、気体がした仕事は、「圧力」を「体積」で積分すればよい。 ここでは「定積変化」だから、「圧力」は定数P0で、仕事は長方形の面積で表される。

  
  
  
• ベクトルの「掛け算」〜「内積」と「外積」について
  
  

  	内積(スカラー積)	外積(ベクトル積)
  定義	・ =||||cosθ ただし、θ=AOB	× =||||sinθ・ ただし、θ=AOB は、OABを含む平面の「法線方向の単位ベクトル」で、から に向かって回転させたとき「右ねじの進む方向」と決める。
  意味	「仕事」を定義するために考案された。 物体に力を加え移動させるとき、移動方向の力の成分しか仕事をしない。 W=・=||||cosθ 仕事(エネルギー)はスカラー量である。 θが鈍角なら、仕事は負の値をとる。 θ=0,πで仕事の「絶対値」は最大である。	OA,OBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積を表すベクトル量(面積ベクトル)。 垂直抗力NのAまわりモーメントは、 Nlsinθ=|×|
  例	仕事	力のモーメント、面積速度(万有引力)*、右ねじの法則(電流が作る磁場)*、フレミングの左手の法則(磁場の中の電流が受ける力)*    (*は、物理�U)

  
  高校の数学では、「内積」しか学習しない。でも、こんな風に物理では「外積」がこっそり持ち込まれている。「数学」と「物理」は切り離すことができない。特に19世紀に進展した「線形代数学(ベクトル・行列)」は、物理学的な現象を、数式で表現するために考案されたものだ。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

力学

• 「運動方程式」と「つりあいの式」
  
  
  
  
  • 運動の法則
    1. 質点に外力が作用しないとき、その質点が静止していたときは静止し続けるが、速度を持っていたときは、その速度のまま等速直線運動を行う。(慣性の法則)
    2. 質点に外力が作用するとき、質点には、作用した外力と同じ方向で、その大きさに比例した加速度が発生する。(運動の法則)
    3. 2個の質点の間に力が作用するとき、どちらを基準に観測するかによって、大きさが同じで向きが反対の2つの力が観測される。一方を「作用」と呼び他方を「反作用」と呼ぶ。(作用・反作用の法則)
       「質点」というのは、「質量だけあって、大きさのない点」という意味。「回転運動」を処理できない高校の物理では、物体はすべて「質点」として扱われる。
    
    とは実は同じことを言っている。質点に作用する外力の合力を    、発生する加速度を    とすれば、
        =m  
    これは「運動方程式」だが、この式は、次のように「読む」ことができる。
    1.     が0なら    も0である。つまり、「外力の合力が0ベクトルならば、加速度は発生しない」、これが「慣性の法則」であり、  =0  を「つりあいの式」という。
    2.     が0ベクトルでないなら、    は    の定数倍である。つまり、「外力の大きさに比例した、同じ方向の加速度が発生する」、これが「運動の法則」である。
    
    力は「ベクトル量」だから、2つの方向に分解できる。加速度の方向と、それに直交する方向に分解すると、一方が「運動方程式」、他方が「つりあいの式」になって便利だ。
    
    
  • 運動方程式の立て方
    • 運動方程式は、原則として、各物体ごとに立てる。
      2個以上の物体をまとめて1個の「系(システム)」として扱うこともできるが、このときは、物体相互間に働く力は、「外力」ではなく「内力」になる。
      
      
    • 「力」の発見の仕方。
      1. 力は原則として、直接触れ合ったものからしか作用しない(近接作用の法則)。
      2. 離れていても作用する、ほぼ唯一の例外が、重力(遠隔作用の法則)。
      3. 「作用」があればかならず「反作用」がある。
      現代物理学では「遠隔作用」の存在は否定されている。でも、高校で扱う物理学は、「19世紀」までのものだから問題ない。
      
      
    • 「連立方程式」の理論。おおざっぱに言うと、「未知数の個数と条件式の個数が等しいとき、連立方程式は、解ける」。だから、求めたい未知数の数だけ、条件式を「探せば」よい。
    
    
    
    
    
    
    
    
  • 練習：下の図で、Aの質量M、Bの質量m、糸に質量はなく、滑車に摩擦はなく、台が水平面となす角θ、台とAの間の動摩擦係数μ'、Aは斜面をすべりおりた、とすると・・・?
    
    
    

    ---

    
    
    • 作用している力をすべて列挙する。「重力」以外は、直接触れ合っているものからしか作用しない。直接触れ合っているのは、Aでは台と糸、Bでは糸だけ。
      
      
      接触面からその面の「法線」方向に受ける力を「垂直抗力」N、
      糸のようなものから受ける引張り力を「張力」T、
      接触面で、運動を妨げる方向に作用する力を「動摩擦力」f
      
      
    • 運動方程式は、各物体ごとにたてる。
      
      Aではさまざまな方向に力が作用しているから、これらを直交する2方向に分解する。
      加速度の発生する方向(斜面に平行な方向)と、それに垂直な方向に分解する。
      
      Bでは鉛直方向にしか力が作用していないから、分解の必要はない。
      
      1. Aについて(斜面に垂直な方向・つりあいの式)
         N-Mgcosθ=0・・・(1)
         
      2. Aについて(斜面に平行な方向・運動方程式)
         Mgsinθ-f-T=Ma・・・(2)
         
      3. Bについて(鉛直方向・運動方程式)
         T-mg=ma・・・(3)
      
      
    • 「未知数」はいくつあるだろうか？
      問題で「与えられた文字」は、M,m,θ,μ'、それから「重力加速度」gは定数。
      これ以外に持ち込んだ文字は、すべて「未知数」だろうから、N,f,T,a、4個の未知数なのに条件式が3個しかない。何が足りないのか?
      
      
    • 動摩擦力の性質：動摩擦力は、垂直抗力に比例する。その比例係数を「動摩擦係数」と呼ぶ。
      f=μ'N・・・(4)
      
      
    • こうして、未知数の数と条件式の数が一致した。連立方程式は、解ける。解ける、ということは、この運動についてのすべてがわかる、ということだ。たとえば、
      
      (1)物体Bが高さh上昇するのに必要な時間。
      (2)その間にAと台との間の摩擦によって失われたエネルギー。
      (3)・・・
      というような問に対しても、すべて、答えられる、ということだ。
  
  
  
  
  
• エネルギー保存則
  
  
  • 自然界をつかさどる、２大法則〜熱力学第１法則・熱力学第２法則
    
    
    • 熱力学第１法則(エネルギー保存則)：「閉鎖系」ではエネルギーは保存される。
      
      
    • 熱力学第２法則(エントロピー増大則)：「開放系」ではエネルギーは散逸し、熱として逃げたエネルギーを再びすべて仕事に変えることは、絶対に不可能である。
    「閉鎖系」とは外部とのエネルギーのやり取りのない世界、「開放系」とは外部とのエネルギーのやり取りがある世界。斜面を物体が滑り降りる場合を考える。摩擦がなければエネルギーは保存される。でも、実際には摩擦は必ず存在し、エネルギーは熱となって逃げていく。この熱は周りの空気を温め(空気を構成する分子の運動エネルギーに変えられ)、「系」から離れていく。
    
    
  • では、「エネルギー」とは何か?語源からみるとそれは「力の源」みたいな意味になる。「相手にダメージを与えることのできる潜在的な能力」と考えるとよい。
    
    

    高いところにある物体は、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。 その物体が落ちてくれば、下にあるものを壊すことができるからだ。 これを「重力による位置エネルギー」という。 速度を持っている物体は、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。 その物体がぶつかれば、そこにあるものを壊すことができるからだ。 これを「運動エネルギー」という。 縮められたばねは、それだけで、エネルギーを持っている、といえる。 そのばねの先におもりをつけて弾き飛ばせば、その先にあるものを壊すことができるからだ。 これを「弾性力による位置エネルギー(弾性エネルギー)」という。

    
    
    
  • では、これらを求めてみよう。
    
    
    • 重力による位置エネルギー
      
      基準面からの高さh[m]にある質量m[kg]の物体はmgh[J]のエネルギーをもつ。
      これは、基準面から、h[m]の高さまで、重力mg[N]につりあう外力で持ち上げたとき、外力が物体に対してなした仕事に等しい。
      
      
      
      
    • 運動エネルギー
      
      速度v[m/s]で運動する質量m[kg]の物体は、mv²[J]のエネルギーをもつ。
      これは、運動している物体に対して外力を加え、これを静止させるまでに外力がなした仕事に等しい。
      
      速度v₀[m/s]で運動する物体に、速度の方向と逆向きに大きさFの一定の外力を加えたとすると、運動方程式は-F=ma[N]であるから、加速度、速度、変位は以下のように書ける。
      
      
      
      物体を静止させるまでにかかる時間は、t=t₀でv=0とすると、
      
      
      
      物体を静止させるまでに要する距離をsとすると、
      
      
      
      したがって、物体を静止させるまでに外力のなした仕事は、
      
      
      
      
    • 弾性力による位置エネルギー
      
      自然長からx[m]だけ、伸ばされ、または縮められたばねには、kx²[J]のエネルギーが蓄えられる。
      
      ばねは、伸ばそうとすると縮み、縮めようとすると伸びる。外部から加えられた変形に対して、これを元に戻そうとする力を「復元力」という。
        F=-kx  (復元力に関するフックの法則:「変形を加えると、変形の大きさxに比例し、かつ、これと反対向きの力が発生する)
      
      では、この力「弾性力」とちょうどつりあうような外力kxを加えながら、ばねの伸びが0からx₀になるまで引っ張ったときに外力がする仕事は、
      
      
  • 「エネルギー保存則」を用いなければならない理由
    
    以下の２つの例を比較してみよう。どちらも摩擦のない斜面を物体が滑り降りる。摩擦による熱の発生がないから、エネルギーは保存される、としてよい。違いは、[例1]では、斜面が直線でないため、滑り降りる間時々刻々垂直抗力の向きが変わる。これにともなって加速度の大きさ、向きも時々刻々変動する。このような複雑な運動を「運動方程式」で解くことはできない。
    
    これに対して[例2]では、物体に作用する重力、垂直抗力はつねに一定だから、加速度も一定、「等加速直線運動」として、任意の時刻の速度が計算できる。
    
    [例1]は「エネルギー保存則」でないと、解けない。[例2]は、「エネルギー保存則」でなくても、解ける。
    
    

    摩擦のない斜面を質量m[kg]の物体が滑り降りる。高さh[m]の地点から静かに物体を滑らせたとき、地表面に達したときの速度を求めよ。
    [例1]	[例2]

    
    
    「保存則」というのは、ある事柄が「起こる前」と「起こってしまった後」の2つの時点で、「何か変化していないもの」に着目して、そこから「変化した量」を逆算する手法である。だから、そこには時間の観念が抜け落ちてしまっている。[例1]で、物体が地表面に「いつ」到達するかは、「エネルギー保存則」からは決して計算できない!
  
  
  
• 力のモーメント(剛体の力学)
  
  

  	質点の力学	剛体の力学
  静力学	つりあいの式	モーメントつりあいの式
  動力学	運動方程式	(回転運動の運動方程式)

  
  力学の「体系」は上のようになっている。「質点」とは「質量はあるが大きさはない」点のことだ。「剛体」は「大きさのある、しかし変形しないかたまり」のことだ。大きさのある物体が運動すると、どうしても直進運動以外に回転運動をしてしまう。回転運動を運動方程式として扱うのは、数学的に難しい技術が必要になるので、高校の物理では扱わない。
  
  だから、「剛体の静力学」では、
  1. 物体が直進運動しないこと：「力のつりあいの式」
  2. 物体が、どこを中心にしてでも、決して回転運動しないこと：「モーメントつりあいの式」
  これらの「連立方程式」を解くことになる。
  どこを中心にしてでも、決して回転運動しないのだから、モーメントの「中心」はどこにとってもいい。力の「作用線」が通っている点を「中心」に選べば、その力のモーメントは0になるから、計算がらくだ。
  
  
  • 練習：質量m[kg]の均質な棒が、壁面に立てかけられている。床との間には摩擦があり、静止摩擦係数はμである。壁面との間には摩擦がない。棒が滑ってしまわない最小の傾斜角θを求めよ。
    
    
    
    

    鉛直方向・つりあいの式	mg-N2=0
    水平方向・つりあいの式	f-N1=0
    A点まわりのモーメントつりあいの式	mg・lcosθ-N1lsinθ=0
    最大静止摩擦力の式	fμN2

    
    
    
    
    
  
  
  
  
  
• 浮力
  
  
  • 液体中にある物体には、その物体が押しのけた液体の重さにあたる「浮力」が作用する(アルキメデスの原理)。
    
    これを、以下の例で確認しよう。断面積S[m²]、高さd[m]、密度ρ[kg/m³]の円柱形の物体が、密度ρ₀[kg/m³]の液体の中に浸かっている。物体の上面がちょうど深さh[m]のところにあるとしよう。大気圧はP₀[Pa=N/m₃]とする。
    
    
    
    この物体に作用する力について、鉛直方向のつりあいの式を立てる。
    
    ところで、「圧力」とはなんだろうか?単位[Pa=N/m³]からは、「単位面積当たりに作用する力の大きさ」と読める。
    「気圧」とは、私達の上にのっかている大気圏の果てまでつながった「空気の柱」の重さを、その作用する面積で割ったものだ。地球の周りの大気圏の厚さ、高さにもとづく密度の変化のパターンは、地球上のどこでもほぼ同じだろうから、地表面(平均海水面)での大気圧はほぼ1013hPaという定数となっている。
    
    液体や気体のような粘性の小さい流体では、物体の陰にも回りこんで、表面は平らになるから、障害物のあるなしに関わらず、その圧力はその面より上にある流体の層の厚さだけで決まる。
    水面からh[m]の深さでの「水圧」P₁[Pa]を計算しよう。
    面積S[m²]の物体の上にのっかっている水の重さ(重力)はρ₀Shg[N]だから、圧力はこれを面積で割って、P₁=ρ₀hg[Pa]、
    同様に、水面から(h+d)[m]の深さでの「水圧」P₂[Pa]は、P₂=ρ₀(h+d)g[Pa]、
    
    

    物体には、鉛直下向きに重力が作用する。	ρSdg
    物体の上面には、鉛直下向きに、大気圧および水圧による力がかかる。	(P0+P1)×S=P0S+ρ0Shg
    物体の下面には、鉛直上向きに、大気圧および水圧による力がかかる。	(P0+P2)×S=P0S+ρ0S(h+d)g
    物体が沈んでしまわないために、鉛直上向きに、外力Fを加えて支えたとする。	F

    
    つりあいの式は、
    
    ρSdg+P₀S+ρ₀Shg-P₀S-ρ₀S(h+d)g-F=0
    
    まとめると、
    
    ρSdg-ρ₀Sdg-F=0
    
    この式の第2項ρ₀Sdg[N]が「浮力」の正体である。まさに「押しのけた液体の重さ」となっているだろう？
    
    ρ＞ρ₀ならば、F＞0であり、手を離せば物体は沈む。
    ρ＜ρ₀ならば、F＜0であり、手を離せば物体は浮かび上がる。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

熱力学

• 比熱・熱容量
  
  
  • 比熱：物質1gの温度を1上昇させるのに必要な熱量c[J/(g・)]
    
    
  • 熱容量：身の回りにある物体は、単一の物質でできていることはむしろ珍しく、いくつかの異なった、したがって比熱の異なる物質でできていることが多い。そこで、そのようなさまざまな物質でできている「物体」をひとまとめにして、その温度を1上昇させるのに必要な熱量を、熱容量C[J/]とした。
    
    
  • 高温物体と低温物体を接触させ、十分な時間が経過すると、両者は等しい温度(平衡温度)に達する。 「外部」への熱の散逸のない「閉鎖系」で考えると、この現象は次のように「説明」できる。
    温度T₁の高温物体と、温度T₂の低温物体が接触し、どちらも温度T₀になった。
    これは、高温物体が失った熱が、すべて低温物体に移動したからだ。
    「外部」に熱が逃げていないとすれば、高温物体が失った熱と、低温物体が受け取った熱は、等しいはずだ!
    
    
  • [練習1]30の水100gと90の水500gを混ぜると、何度になるか?
    100×c×(x-30)=500×c×(90-x)
    
    
  • 「相変化」にともなう熱の移動
    固体液体気体、と物質が変化する際に熱の移動がともなう。
    
    固体は、物質を構成する粒子が規則正しく配列し、粒子間の相互作用の力(分子間力、イオン間の静電引力など)によって強く拘束されている。
    気体では、物質を構成する粒子は、ほぼその相互作用の影響を受けないほど大きな空間に広がり、高速で運動している。
    液体では、これらの中間的な状態で、粒子間の相互作用を受けつつ、ある程度広い空間の中を動くことができる。
    
    粒子の持つエネルギーは、固体・液体・気体の順に大きくなる。
    固体から液体にするのに、外部から加えなければならないエネルギーを「融解熱」、 液体から気体にするのに、外部から加えなければならないエネルギーを「蒸発熱」という。
    
  • [練習2]
    

    [エネルギー](2003本_1_2)(2)

    42×2.1×{0-(-10)}+42×334=710×4.2×(x-0)
    
  
  
• 熱力学第1法則
  
  
  • ボイル・シャルルの法則
    
    気体の状態を記述する変数は、圧力P[Pa=N/m²]、体積V[m³]、温度T[K]の3つである。それらの相互関係を明らかにしたのが、以下の法則である。
    
    
    • ボイルの法則
      
      温度が一定であれば、気体の圧力と体積は、反比例する。
      
      PV=c
      
      
    • シャルルの法則
      
      圧力が一定であれば、気体の占める体積は、温度が1上昇するごとに、0での体積を基準にして、その1/273だけ増加する。
      
      tにおける体積をv(t)とすると、以下のように書ける。この、原点を通らない1次関数は、何かと扱いにくいので、温度の定義を変え、これを平行移動して原点を通る比例関係にした。
      
      元来「摂氏・セルシウス」温度は、人間のもっとも身近に存在して、かつ容易に3態変化を示す「水」という物質の、沸点と凝固点を基準にして、これを便宜的に100等分して設定されたものである。
      目盛りの幅はそのままに、摂氏マイナス273度をあらたに0度（絶対0度・単位[K]ケルビン）とすれば、
      圧力が一定であれば、気体の圧力は、絶対温度に比例する、といえる。
      
      V/T=c
      
      従って、絶対0度では、気体は体積を持たない。もちろんこれは「理想気体」における想定であって、「実在気体」では、(1)気体分子に大きさがあり、(2)分子間力が作用するから、冷却しても、絶対0度になる以前に、「凝縮」して液化する。
      
      
    • ボイル＝シャルルの法則
      
      温度が一定であれば、気体の圧力と体積は、反比例する。
      圧力が一定であれば、気体の圧力は、絶対温度に比例する。
      
      という二つの事実から、ただちに次のことが言える。
      いかなる温度・圧力においても、圧力と体積の積を絶対温度で割った商の値は一定である。すなわち、
      
      
      
    • P-Vグラフの見方（もう一つの変数Tはどこに表されているか？）
      
      ボイル・シャルルの法則より、一定温度の理想気体の圧力と体積は、反比例する。したがって、縦軸に圧力P、横軸に体積VをとったP-Vグラフ上では、同じ温度を結んだ「等温線」は反比例のグラフ（直角双曲線）として表される。
      状態方程式を見れば明らかなように、PVの積に比例して、Tも大きくなるから、「等温線」は座標軸から離れるほど、高温を表していることになる。
      
    • 気体がする仕事
      
      [J]=[N・m]=[(N/m²)・m³]=[Pa・m³]であるから、気体が外部に対してする仕事は、
      
      で表される。
      
      dv＞0すなわち「膨張」のとき、「正の仕事」
      dv＜0すなわち「圧縮」のとき、「負の仕事」
      
      であり、これは、P-Vグラフ上の曲線下の面積で表される。
      
      

      AからBへ（膨張） BからAへ（圧縮）

      
      
      
      
      
  • 熱力学第1法則
    
    
    
    
    • U:内部エネルギーの増加量[J]
      言葉の定義上、「増加」したとき「プラス」、「減少」したとき「マイナス」の値をとる。
      「内部エネルギー」は「絶対温度」のみの関数であり、「絶対温度」に比例するから、「増加」は「温度上昇」、「減少」は「温度下降」に対応する。
      
      
    • Q:外部から受け取った熱[J]
      「吸熱」・「熱を（外部から）受け取った」とき「プラス」、「放熱」・「熱を（外部に）与えた」とき「マイナス」。
      
      
    • W:外部から受け取った仕事[J]
      「圧縮」すなわち「外部」が「気体」に対して「正」の仕事をしたとき「プラス」、「膨張」すなわち「気体」が「外部」に対して「正」の仕事をしたとき、言いかえれば、「外部」が「気体」に対して「負」の仕事をしたとき、「マイナス」
      
      
      「気体」が「外部」から受け取る仕事は、上の式で表される。
      マイナスがついているのは、「体積増加量」dVがプラスのときは、「気体」が「外部」に対して「正」の仕事をした、すなわち「膨張」に当たるからだ。
      
    
    
    以上から、「熱力学第1法則」は、次のように「読む」ことができる。すなわち、
    
    

    気体の「内部エネルギー」が増加したとすれば、その原因は、外部から「熱」を受け取ったか、もしくは、外部から「仕事」を受け取ったか、に限られる。

    
    
    
    1. 定積変化(dV=0すなわちW=0)
       
       体積の変化がないから、気体は仕事をしない。従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。
       
       U=Q
       
       
    2. 定圧変化
       
       定圧変化では、「熱力学第1法則」の3項のうち、いずれも0とはならない。しかし、仕事Wは、圧力Pが体積Vにかかわらず一定であることから、積分記号の外に出すことができ、次のように書ける。
       
       従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。
       
       U=Q-PV
       
       
    3. 等温変化(T=0すなわちU=0)
       
       内部エネルギーは絶対温度のみの関数であり、従って「等温変化」においては、内部エネルギー増加量ΔUはゼロである。
       従って、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。
       
       0=Q+W
       
       
    4. 断熱変化(Q=0)
       
       断熱変化においては、熱の出入りがないので、「熱力学第1法則」の式は以下のようになる。
       
       U=W
       
       では、「断熱変化」のグラフはどんなグラフだろう?
       
       「断熱膨張」をおこなったとしよう。「熱力学第1法則」の右辺はWのみであり、「膨張」においては「気体」が「外部」に「正」の仕事をしているから、「気体」は「外部」から「負」の仕事を受け取ったことになり、右辺は「負」である。
       左辺は「内部エネルギー増加量」であるから、これが「負」であるなら、減少したことになる。内部エネルギーは絶対温度のみの関数であり、これに比例するから、温度が下がったことになる。すなわち、「断熱膨張により、温度は下がる」、まったく逆の推論をおこなえば、「断熱圧縮により、温度は上がる」
       
       ボイルの法則で、Tが一定ならば、PとVは反比例の関係に立つ。縦軸P横軸VのP-Vグラフを描けば、直角双曲線となるが、一定値Tが大きくなればなるほど、つまり高温になるほど、この双曲線は座標軸から離れる。
       「断熱膨張」においては、横軸V、体積増加とともに、温度が下降し、より座標軸に近い等温線に、乗り移る。
       「断熱圧縮」においては、横軸V、体積減少とともに、温度が上昇し、より座標軸に遠い等温線に、乗り移る。
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

       	P-Vグラフ	熱力学第1法則
       定積変化		A→B U = Q (+) 温度上昇 (+) 吸熱
       		B→A U = Q (-) 温度下降 (-) 放熱
       定圧変化		A→C U = Q + W (+) 温度上昇 (+) 吸熱 (-) 膨張
       		C→A U = Q + W (-) 温度下降 (-) 放熱 (+) 圧縮
       等温変化		B→C 0 = Q + W (+) 吸熱 (-) 膨張
       		C→B 0 = Q + W (-) 放熱 (+) 圧縮
       断熱変化		B→D U = W (-) 温度下降 (-) 膨張
       		D→B U = W (+) 温度上昇 (+) 圧縮

波

• y-xグラフ・y-tグラフ・振動速度分布(v_y-x)グラフ・
  
  「波」という現象は、媒質の「空間的」な変動が、「時間的」に移動して伝わる、というとても複雑な構造を持っている。数学的に言うと、振動の中心点からの隔たり「変位」yが、「場所」xと「時刻」tという2変数の関数で表される、ということになる。
  人間の目は2次元の情報しか処理できない。熱力学で、気体の圧力P・体積V・絶対温度Tという3個の変数があるにもかかわらず、P-Vグラフで考えなければならなかったのと同様、ここでも、y-xグラフ、y-tグラフを分けて考えなければならない。
  3つの変数のうち2つしか処理できないのだから、あとの一つは一定値だとしなければしょうがない。
  t=0におけるy-xグラフ、x=0におけるy-tグラフ、のように。
  
  上のグラフは、ある波のt=0と、その「微小時間」後t=tにおけるy-xグラフを1枚の図面に重ねて描いたものだ。それぞれのグラフは、その瞬間における波の「空間的」な広がり、つまり波の「形」を表しているに過ぎないが、2つを同時に眺めると「時間的」な動きがわかる。
  
  このグラフから何が読み取れるか?
  • この波は、右向き(x軸の正の方向)に進行している。
  • x=0という特定の「場所」に注目すると、そこでの「変位」は負に向かって変化していくであろう。
  • x軸上の各点についてt=t(破線)のグラフの変位から、t=0(実線)のグラフの変位を引き算すると、その量はt秒間における変化量だから、ここからy方向の速度(振動速度)がわかる。
    x=0付近では、下向き(y軸の負の方向)に最大、グラフの極大・極小の点付近では、ほぼ0である。
  
  これらの情報から、この波の「x=0におけるy-tグラフ」、「t=0におけるv_y-xグラフ(振動速度分布グラフ)」を「復元」すると、次のようになる。
  

  y-xグラフ(t=0)

  y-tグラフ(x=0)

  vy-xグラフ(t=0)

  
  
• 波を表す諸量
  
  
  • 波長λ[m]：波の「空間的」な広がりの1単位。
  • 進行速度(伝播速度)v[m/s]：媒質の「疎・密」の影響を受け、「密」であるほど遅くなる。
  • 周期T[s]：1波長進行するのに要する時間。
  • 振動数(周波数)f[Hz=1/s]：1秒間の振動回数。
    
  
  
• 縦波(疎密波)を横波に変換する
  
  波の進行方向と振動方向が、同一である波を縦波という。音波は、空気という媒質の「疎」な部分と「密」な部分が交互につながりながら進行し、人間の鼓膜を振動させることで感知される。
  
  縦波の様子をそのまま画に表してもわかりにくいので、これを横波(波の進行方向と振動方向が直行している波)に変換して表す。振動していないときの媒質の各点の位置を基準にして、「右向き」の変位を「上向き」の変位に、「左向き」の変位を「下向き」の変位に読み替えてグラフを作る。
  
  

  疎密波 (媒質の各点の位置) 基準点 (振動していないとき) 横波 (右向きの変位を 上向きの変位に読み替えた)

  
  
  横波のグラフのB点では、媒質はそこより左側では「右向き」の変位、右側では「左向き」の変位を持っており、つまり両側からB点に向かって媒質が集まっている。だから、「密」である。
  
  同様にC点では、媒質はそこより左側では「左向き」の変位、右側では「右向き」の変位を持っており、つまり両側ともB点から離れるように媒質が広がっている。だから、「疎」である。
  
  
  
  
  
  
• 重ね合わせの原理(ホイヘンスの原理)
  
  複数の波源で発生している波が、ある一つの場所に同時に到達したとき、その変位はそれぞれの波の持つ変位の、単なる算術的な加算によって表されることが知られている。これを「重ね合わせの原理」という。

  「重ね合わせの原理」の一番簡単な例は、数学で学んだ「三角関数の合成」だ。 これは、同じ波長の正弦波が重なっても、やはり正弦波になることを表している。
  もう少し複雑な例。右の図の中の破線、点線で表された3つの波を重ね合わせると、実線であらわされた波形になる。 逆に、複雑な波形を有限個の正弦波に分解するのが「デジタル技術」の基本原理だ。
  「うなり」もまた、「重ね合わせの原理」で説明できる。 右の図は、振動数が20と18の同じ波長の正弦波を重ね合わせたものである。振幅が1秒間に約2回、大きく変動する。これが「うなり」として観測される。

• 波の「干渉」
  
  「重ね合わせの原理」によって、「山」と「山」、または「谷」と「谷」が重なると、変位は大きくなるから波は強められ、「山」と「谷」が重なると、変位が打ち消されつから波は弱められる。
  
  水面波の干渉について考える。
  少し離れた水面上の2点に振動を加え、同じ振動数、同じ「位相」の波を発生させる。1点で生じた振動は、水面のあらゆる方向に向かうから、その波面は「同心円」を描いて広がる。
  
  「2点からの距離の差が一定」である点の軌跡は「双曲線」である(数学Ｃ)から、干渉によって次の図のような縞が出来上がる。同心円の太い線は「山」、細い線は「谷」、実線の双曲線は干渉によって強められた点、破線の双曲線は弱められた点を表す。
  2つの波源の垂直2等分線上の点は、かならず2点から等距離にあるから、これも強めあう点になる。
  
  2点の間に何本の線が引けるかは、波源間の間隔と波長との関係による。
    ( d : 波源間の間隔    λ : 波長    n : 引くことのできる線の本数)
  • 強めあう線の本数：  d-nλ0  (n=0,1,2,・・・)
  • 弱めあう線の本数：  d-(2n-1)λ/20  (n=1,2,3,・・・)
  
  
  
  

  水面波の干渉 波源間の距離：2 波長：1.1 強めあう線は、 n=0,1で、合計3本 弱めあう線は、 n=1,2で、合計4本
  水面波の干渉 波源間の距離：2 波長：1.4 強めあう線は、 n=0,1で、合計3本 弱めあう線は、 n=1で、合計2本

  
  
  
• 反射と定常波
  
  「重ね合わせの原理」により、反対向きに進行する同じ波長の波が重ねあわされると、媒質の各点が基準点を中心に振動するだけで、どちらにも進行しない波が出来上がる。これを「定常波」と呼ぶ。定常波には、まったく振動しない点(「節」と呼ぶ)と、もとの波の合計の振幅で大きく振動する点(「腹」と呼ぶ)が、等間隔で並ぶ。定常波の波長はもとの波の波長と同じであり、「節」と「節」、「腹」と「腹」の間隔はいずれも半波長である。
  
  波が端点で反射されると、波長を変えないまま進行方向が逆転するので、初めにあった進入波と反射波とで、定常波がつくられる。弦をはじいたときの振動や、管内の気柱の振動などがその例である。
  
  ところで、反射には、「位相」の変化について以下の2種類がある。
  
  
  • 進入波と反射波の変位の合計が、つねに0となるもの。したがって端点はつねに「節」(端点が動かないことから「固定端反射」と呼ぶ)。例：弦、閉管
    
    
  • 進入波と反射波の変位が、つね等しくなるもの。したがって端点では変位はその合計となるので、つねに「腹」(端点が大きく動くことから「自由端反射」と呼ぶ)。例：開管
  
  
  上の条件を満たす反射は、およびそれらを合成した定常波を作図するには、次のようなルールに従えばよい。
  
  
  • 「固定端反射」では、「位相」が半波長ずれる、といわれる。これは、進入波がそのまま進行した様子を描き、それを半波長分だけ平行移動し(右でも左でも、同じ)、それを反射面に関して裏返すことになる。三角関数の性質から、半波長分平行移動したグラフは、もとのグラフと必ずx軸対称だから、結局、進入波の延長を、反射面の中心に関して「点対称」に折り返す、ことになる。
    
    
  • 「自由端反射」では、「位相」がずれない、といわれる。これは、進入波がそのまま進行した様子を描き、それをそのまま反射面に関して裏返すことになる。つまり、進入波の延長を、反射面に関して「線対称」に折り返す、ことになる。
  
  
  以下に16分の1周期ごとの入射波と反射波の様子を描いた図を用意したので、練習されたい！！
  
  
  
  
• 縦波(粗密波)の定常波
  縦波を横波に変換して表現するルールに従えば、基本的には同じであるが、「節」、「腹」のイメージがつかみにくい。
  
  
  • 「節」では、その中心では媒質(空気)は位置を変えないが、その周りの空気が「節」に向かって集まってきたり、「節」を中心にして左右に広がったりするから、ここでの空気の「密度の変化」は最大になる。
  • 「腹」では、変位が最大だから、媒質(空気)はその位置を左右に大きく変えるが、まわりの媒質も同じ方向に動くから、「密度の変化」は小さい。
  
  
  
  
  
  

  反射の種類と、定常波のでき方(1)     【右端が、反射面】
  固定端反射	自由端反射
  t=0	t=0
  t=(1/16)T	t=(1/16)T
  t=(2/16)T	t=(2/16)T
  t=(3/16)T	t=(3/16)T
  t=(4/16)T	t=(4/16)T
  t=(5/16)T	t=(5/16)T
  t=(6/16)T	t=(6/16)T
  t=(7/16)T	t=(7/16)T

  
  
  

  反射の種類と、定常波のでき方(1)：練習用
  固定端反射	自由端反射
  t=0	t=0
  t=(1/16)T	t=(1/16)T
  t=(2/16)T	t=(2/16)T
  t=(3/16)T	t=(3/16)T
  t=(4/16)T	t=(4/16)T
  t=(5/16)T	t=(5/16)T
  t=(6/16)T	t=(6/16)T
  t=(7/16)T	t=(7/16)T

  
  
  

  反射の種類と、定常波のでき方(2)     【右端が、反射面】
  固定端反射	自由端反射
  t=(8/16)T	t=(8/16)T
  t=(9/16)T	t=(9/16)T
  t=(10/16)T	t=(10/16)T
  t=(11/16)T	t=(11/16)T
  t=(12/16)T	t=(12/16)T
  t=(13/16)T	t=(13/16)T
  t=(14/16)T	t=(14/16)T
  t=(15/16)T	t=(15/16)T

  
  
  

  反射の種類と、定常波のでき方(2)：練習用
  固定端反射	自由端反射
  t=(8/16)T	t=(8/16)T
  t=(9/16)T	t=(9/16)T
  t=(10/16)T	t=(10/16)T
  t=(11/16)T	t=(11/16)T
  t=(12/16)T	t=(12/16)T
  t=(13/16)T	t=(13/16)T
  t=(14/16)T	t=(14/16)T
  t=(15/16)T	t=(15/16)T

  
  
  

  疎密波の反射による定常波(1)
  固定端反射	自由端反射
  t=0	t=0
  t=(1/16)T	t=(1/16)T
  t=(2/16)T	t=(2/16)T
  t=(3/16)T	t=(3/16)T
  各欄の上端に2本並んだ点の列が、「疎密波」の質点の位置を表す。(上：入射波、下：反射波) 右端が「反射面」である。 これらを、「横波」に変換したものが、下のグラフ。(○：入射波、×：反射波、●：合成波)

  
  
  

  疎密波の反射による定常波(2)
  固定端反射	自由端反射
  t=(4/16)T	t=(4/16)T
  t=(5/16)T	t=(5/16)T
  t=(6/16)T	t=(6/16)T
  t=(7/16)T	t=(7/16)T
  各欄の上端に2本並んだ点の列が、「疎密波」の質点の位置を表す。(上：入射波、下：反射波) 右端が「反射面」である。 これらを、「横波」に変換したものが、下のグラフ。(○：入射波、×：反射波、●：合成波)

  
  
  

  疎密波の反射による定常波(3)
  固定端反射	自由端反射
  t=(8/16)T	t=(8/16)T
  t=(9/16)T	t=(9/16)T
  t=(10/16)T	t=(10/16)T
  t=(11/16)T	t=(11/16)T
  各欄の上端に2本並んだ点の列が、「疎密波」の質点の位置を表す。(上：入射波、下：反射波) 右端が「反射面」である。 これらを、「横波」に変換したものが、下のグラフ。(○：入射波、×：反射波、●：合成波)

  
  
  

  疎密波の反射による定常波(4)
  固定端反射	自由端反射
  t=(12/16)T	t=(12/16)T
  t=(13/16)T	t=(13/16)T
  t=(14/16)T	t=(14/16)T
  t=(15/16)T	t=(15/16)T
  各欄の上端に2本並んだ点の列が、「疎密波」の質点の位置を表す。(上：入射波、下：反射波) 右端が「反射面」である。 これらを、「横波」に変換したものが、下のグラフ。(○：入射波、×：反射波、●：合成波)

  
  
• 固有振動数と共鳴
  
  物にはその大きさや材質によって定まる「固有振動数」があり、外界からその振動数に等しい振動が加えられると振動を始める。これを「共鳴(共振)」と呼ぶ。テーブルがゆれると、その上に乗っていたさまざまの物体のうち、ある特定の大きさのコップだけが大きく揺れたりする。地震のとき、より頑丈なはずの建物の方が大きな被害を受けたりする、これらにも、この原理が関係している。
  
  複雑な形をした物体の「固有振動数」は、簡単にはわからないが、弦や、細い管内の気柱などでは、その長さだけで、「共鳴」の条件が決定できる。
  
  
  • 弦では、その両端が「固定端反射」をするから、両端が「節」となるような定常波を生じるような振動に対して共鳴する。
  • 一方の端が閉じた管内の気柱(「閉管」という）では、管の入り口は「自由端反射」、管の底では「固定端反射」を行うから、一方が「腹」、他方が「節」となるような定常波を生じる振動に対して共鳴する。
  • 両端が開いた管内の気柱(「開管」という)では、両端とも「自由端反射」を行うから、両端が「腹」となるような定常波を生じる振動に対して共鳴する。
  
  
  

  弦	閉管	開管
  基本振動	基本振動	基本振動
  2倍振動	3倍振動	2倍振動
  3倍振動	5倍振動	3倍振動

  
  
  2倍、3倍、などの名称の由来は、振動数による。
  例えば、管の長さをlとすると、閉管の基本振動では、
    λ=l
  3倍振動では、
    λ=l
  となり、波長が3分の1になるから、振動数は基本振動の3倍になる。
  
  
• 音
  • ドップラー効果
    
    • 音源移動
      
      • 音源が近づく場合
        
        音速V[m/s]、音源の移動速度u[m/s]、音源の波長λ[m]、周波数f[Hz=1/s]とする。t秒間に音源から発せられたft個の波が、(V-u)t[m]の長さの中に「圧縮」されているから、観測される波長は、
        [m]
        しかし、この波が観測者に到達する速度は、音速V[m/s]のままだから、結局、観測される波長は、
        [Hz=1/s]
        
      • 音源が遠ざかる場合
        同様に、観測される波長、および周波数は、
        [m]
        [Hz=1/s]
        
      
      
    • 観測者移動
      
      
      • 観測者が近づく場合
        
        音速V[m/s]、観測者の移動速度v[m/s]、音源の波長λ[m]、周波数f[Hz=1/s]とする。Δt秒間に観測者のそばを「通り抜ける」波の個数、すなわち、観測される周波数は、
        [Hz=1/s]
        
      • 観測者が遠ざかる場合
        同様に、観測される周波数は、
        [Hz=1/s]
        
  
  
  
  
  
• 光
  • 光に関する問題点
    
    現代の物理学では、光はもっぱら「粒子」として扱われる。光がそもそも「波」なのか「粒子」なのかの論争こそが、「量子力学」の出発点だった。光が「波」ではない、最もわかりやすい根拠は、「媒質」がなくても伝わることだ。太陽の光は、はるかな真空の距離を隔てて地球に到達し、生命活動を可能にするエネルギーを伝達している。
    
    光を含む「電磁波」は、電場と磁場の振動を本質としており、その点で「波」に類似した性質を持っている。そこで、高校で学ぶ物理学では、光をもっぱら「波」の一種として扱うが、やはり「粒子性」にもとづく性質がいろいろなところに顔を出し、簡単には説明できない問題をはらんでしまうのもやむをえない。
    
    

    反射	入射角と反射角は等しい 屈折率の小さい媒質(光学的に「疎」な媒質から、屈折率の大きい媒質(光学的に「密」な媒質に向かって反射するとき、反射波の「位相」は半波長ずれる(固定端反射)。 屈折率の大きい媒質(光学的に「密」な媒質から、屈折率の小さい媒質(光学的に「疎」な媒質に向かって反射するとき、反射波の「位相」はずれない(自由端反射)。	薄膜による干渉 くさび形薄膜 ニュートン環
    屈折	屈折率が大きい(光学的に「密」な)媒質中では、光の進行速度は小さくなり、波長も短くなる。 波長が短いほど、屈折角は大きくなる。(虹)	薄膜による干渉
    回折	一般に波は、その波長と同じぐらいか、またはそれより短い長さを持つ障害物に対して、大きく回折し、その裏側に回りこむ。 波長が数メートルの海面波は、幅数メートルの防波堤によって大きく曲げられ、港の内側にも波が押し寄せる。 光の波長は十分に小さいので、大きな障害物によっては、ほとんど回折しない。晴れた日に街路樹の陰が、道路にくっきりと映っているところを想像されたい。	ヤングの実験 回折格子
    干渉	波には「重ね合わせの原理」が成立するから、「山」と「山」、「谷」と「谷」が出会えばより振幅は大きくなり、反対に「山」と「谷」が出会えば、打ち消しあって振幅は0となる。 問題としている地点までに光がたどってきた距離の差「光路差」が、波長の整数倍であるとき、波は強めあい(明線)、半波長の奇数倍であるとき、波は弱めあう(暗線)。	ヤングの実験 回折格子 薄膜による干渉 くさび形薄膜 ニュートン環

    
    
    
    
    

    波長	長(低エネルギー)短(高エネルギー)
    	赤外線	可視光線 7.8×10-7m〜3.8×10-7m							紫外線
    色	-	赤	橙	黄	緑	青	藍	紫	-

    
    
        物理�Tでは、反射にもとづく「位相の変化」を扱わない。しかし、これを「知らない振り」をして理解できるとは思えないので、以下の説明では、使っている。新過程(2006年以降)のセンターテストの問題では、確かに、「位相の変化」を知らなくても正解が導けるように工夫されている。旧過程の問題では、反射にもとづく「位相の変化」を知っていることを前提にしているものがあるので、ちょっと困る。
    また、「ニュートン環」も新過程では、除外された。
    
    
    
    
  • レンズ
    
    
    
    

    であるから、 倍率：

    右側の等式の両辺にa fをかけて、       b f = a (b-f)       (a+b) f = a b 両辺をa b fで割ると、

    
    
    
    
    
  • 屈折率
    
    
    
    平行光線が屈折率n₁の媒質から、入射角iで入射、屈折率n₂の媒質に入り、屈折角rで、境界面から遠ざかるように(i＞r)屈折した。
    
    l,l'は、平行光線の中の2本の光線で、位相がそろっている。
    l'が媒質n₂に入った点をA'、lが媒質n₂に入った点をBとすると、光軸に垂直な波面A-A'、B-B'は、それぞれ同位相である。
    
    したがって、それぞれの媒質での、波の進行速度v₁,v₂、および波長λ₁,λ₂の比は、
    
    
    
    と、表される。
    
    ここで、A'AB=i,B'BA'=rだから、AB=dとおくと、
    
    
    
    したがって、
    
    
    
    「疎」な媒質から、「密」な媒質へ入射(n₁＜n₂,n₁₂＞1)するとき→境界面から遠ざかるように屈折(i＞r)
    
    「密」な媒質から、「疎」な媒質へ入射(n₁＞n₂,n₁₂＜1)するとき→境界面に近づくように屈折(i＜r)
    この場合、屈折角がr=90°となることがある。このときの入射角i_cを、「臨界角」と呼び、ii_cで、「全反射」が生じる。
    
    
  • ヤングの実験
    
    単一の光源から出た光は、第1のスリットS₀を通り、間隔d[m]で並ぶ第2のスリットS₁,S₂を経て、L[m]離れたスクリーンに向かう。第1のスリットは、2つの第2スリットのちょうど中央に位置しているから、S₁,S₂において、光の位相はそろっている。
    
    
    
    スクリーン上、S₀とS₁S₂の中点を結ぶ線の延長が交わる点をOとし、ここからx[m]の位置にある点Pについて、S₁,S₂を経由して到達した光が干渉する条件について考える。
    
    実際の装置は、dが数ミリ程度、Lが数メートル程度で、1:10³ほどの比であるが、作図の都合上縦横比を変えてあることに注意が必要である。
    
    三平方の定理から、
    
    S₂P²-S₁P²=
    
    また、
    
    S₂P²-S₁P²=(S₂P-S₁P)(S₂P+S₁P)
    
    である。ここで、
    
    S₂P+S₁P2Lと近似すると、
    
    S₂P-S₁P=
    
    
    • Pが明線となるのは、光路差S₂P-S₁Pが、波長λの整数倍、すなわち、
      
      S₂P-S₁P=mλ         (m=0,1,2,・・・)
      
      
    • Pが暗線となるのは、光路差S₂P-S₁Pが、半波長の奇数倍、すなわち、
      
      S₂P-S₁P=  (m=1,2,3,・・・)
    
    
    m番目の明線の位置をx_mとすると、
    
    
    
    
    
    明線間隔xは、
    
    
    
    こうして、縞の間隔は波長に比例することがわかった。スクリーン上には、等間隔に縞が並び、これを計測することで、入射光の波長を計算により求めることができる。
    
    [別解]次のような関数を考える。
    
    
    
    xが十分に小さいとき、1次近似として、
    
    
    
    を用いると、
    
    
    
    ここから、
    
    S₂P-S₁P=
    
    
    
                 =
    
    
    
    
  • 回折格子
    
    薄いガラスの板に、1センチメートル当たり数千本もの直線状の傷をつける。傷のついた部分は表面がギザギザなので光は乱反射する。傷の付けられなかったところだけ、光が直進するから、無数のスリットが並んだようなものが出来上がる。これが、「回折格子」である。
    
    スリット間隔がd、回折角がθであるとき、隣接するスリットから出た光の光路差は dsinθ であるから、これが波長λの整数倍であるとき、これらの回折光同士は強めあい、十分離れた場所にあるスクリーン上に明線を作る。これを「回折縞」という。
    
     dsinθ =mλ      (m=0,1,2,3,・・・)
    
    一般に波は、障害物の大きさが波長と同程度またはそれより小さいとき、大きく回折するといわれる。可視光線の波長は10^-7m程度であるから、1ミリ程度の厚さのガラス板では、それほど回折しない。下の図も横と縦の拡大比1:1000ぐらいと考えるべきである。
    上の式でmを「回折光の次数」というが、最大の回折角をθ₀とすると 0θθ₀ の範囲で、何本の回折縞が観測できるか？、すなわち「回折光の次数」は、限られた数であることがわかる。
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • 薄膜による干渉
    
    
    
    同位相の平行光線、A,A'からの光が、
    
    
    1. A→B→C→D→E
    2. A'→D→E
    
    の二つの経路を通って、Eで干渉する。
    B-B',D'-Dは、それぞれ同位相だから、光路差は、D'→C→Dの「光学距離」にあたる。
    媒質n₁,n₂の境界面に関して、Dと対称な点をD"とすると、
    CHDCHD"
    だから、
    CD=CD"
    したがって、
    D'C+CD=D'C+CD"=D'D"
    
    また、
    CD"D=r
    だから、
    D'D"=DD"cosr
    したがって、
    D'C+CD=2dcosr
    
    その「光学距離」は
    2n₁dcosr
    
    
    
    
    ここで、A'→D→Eは「疎」から「密(n₁＞1)」への反射だから、「固定端反射」で、位相がπ(半波長)ずれる。
    B→C→Dの反射の性質は、n₁,n₂の大小関係によって異なる。
    
    1. n₁＞n₂の場合:B→C→Dは「密」から「疎」、自由端反射、位相はずれない
       
       2n₁dcosr=   (m=1,2,3,・・・)：強めあう
       2n₁dcosr=mλ               (m=0,1,2,・・・)：弱めあう
       
       
    2. n₁＜n₂の場合:B→C→Dは「疎」から「密」、固定端反射、位相はπずれる
       
       2n₁dcosr=mλ               (m=0,1,2,・・・)：強めあう
       2n₁dcosr=   (m=1,2,3,・・・)：弱めあう
    
    
    
    
    
    
  • くさび形薄膜による干渉
    
    
    
    真上から入射した光について、くさび形の隙間の上面と下面での反射光が、干渉する。
    
    2つの反射光の光路差は、2d
    ここで、ABCAPQから、
    
    したがって、
    
    
    P,Qでの反射の性質は、n₁,n₂の値によって異なる。
    n₁＞1,n₂＞1の場合を考えると、Pは「固定端反射」、Qは「自由端反射」だから、
    
    =   (m=1,2,3,・・・)：明線
    
    =mλ               (m=0,1,2,・・・)：暗線
    
    左端からm番目の明線位置をx_mとすると、
    
    
    明線間隔xは、
    
    
    
    
    
  • ニュートン環(物理�U)
    
    
    
    曲率半径R[m]の球を「切り取った」半凸レンズとガラス板を重ね、光を真上から入射させる。
    • レンズと板の隙間の上面で反射した光と、下面で反射した光の干渉(反射ニュートン環)
    • 直進して透過した光と、隙間の両面で反射した後透過した光との干渉(透過ニュートン環)
    
    
    R₂=x₂+(R-d)₂
    
    x₂-2dR+d₂=0
    
    ここで、dはxに比べて十分に小さいので、
    
    x₂-2dR0
    
    
    
    光路差は2dである。それぞれの面での反射の性質は、レンズ、隙間に充填されている媒質、ガラス板の屈折率による。それぞれ、n₁,1,n₂とし、n₁＞1、n₂＞1とすると、
    
    
    • 反射ニュートン環(上面：自由端反射、下面：固定端反射)
      
      2d=   (m=1,2,3,・・・)：明環
      
      2d=mλ               (m=0,1,2,・・・)：暗環
      
      
    • 透過ニュートン環(固定端反射が2回)
      
      2d=mλ               (m=0,1,2,・・・)：明環
      
      2d=   (m=1,2,3,・・・)：暗環
    
    反射ニュートン環で、m番目の明環の半径をx_mとすると、
    
    
    
    であるから、明環の間隔x=x_m+1-x_mは一定ではない。
    隣接する2本の明環にはさまれたドーナツ状の面積Sは、
    
    
    
    となり、mにかかわらず一定である。したがって、ニュートン環は中心から離れるほど、その間隔は小さくなることがわかる。

電流と磁界

• オームの法則  V=IR  
  
  抵抗 R[Ω] の両端に電位差(電圧) V[V] を加えると、電流 I[A] が流れる。
  
  

  「電流」の実体は、電子の流れであるが、電子が実際に存在していることが発見される以前に電流の向きを決めてしまっていた、という「歴史的なミス」のおかげで、「電子は負の電荷を持っている」といい、「電流の向きは、実際に電子が流れている向きとは逆」と、言わなければならなくなった。 「電荷」の単位をMKS単位系では[C](クーロン)と呼び、1秒間にある断面を、1Cの電荷が通過する状態を1A(アンペア)の電流とした。つまり、[A]=[C/s]、「電流」とは「電荷」の移動速度のことである。

  
  「電流」が流れる、すなわち「電荷」が移動するには、何か「原動力」がなくてはいけない。物体が高いところから低いところに落ちるのは、重力による位置エネルギーに差があるからで、これを運動エネルギーに変換させる過程といえる。同じように、「電流」は「電位」の高いところから「低い」所に流れる。電池というのは、化学的な「酸化還元反応」によって、無理矢理「電位差」を作り出す装置である。
  「電位」は「電荷」1Cあたりの持つエネルギー、と定義される。すなわち、[V]=[J/C]。
  
  こうして、オームの法則は、「電位差があると、これに比例した電流が流れる。比例定数を『抵抗』と呼ぶ」と、読める。
  
  
• 抵抗の性質
  
  この「抵抗」の性質について詳しく調べていくと、同じ材質の金属を使った場合、長さl[m]に比例して、断面積S[m²]に反比例する<ことがわかった。
  
  そこでその「比例定数」をρとした。抵抗の持つ「属性」のうち、「長さ」でも「断面積」でもないものが、このρのなかにこめられている。それは、抵抗を作っている金属の種類、などの「材質」によるものだろう。だから、「材質」によって決まる「定数」として、「抵抗率」と呼ぶことにした。
  
  このことだけから、抵抗の「直列接続」、「並列接続」についてある程度の「予想」が付く。
  

  直列接続	並列接続
  抵抗の長さが長くなるのと同じだから、抵抗は大きくなるだろう。 直列接続は、抵抗を大きくする。	抵抗の断面積が大きくなるのと同じだから、抵抗は小さくなるだろう。 並列接続は、抵抗を小さくする。

  
  
  
• 電力の定義  P=VI  
  
  「電位差(電圧)」と「電流」の積を、「電力」と呼びワット[W]という単位で表すが、これは、単位の成り立ちを見てみないと、その意味がわからない。
  
  「電位」は「電荷」1Cあたりの持つエネルギー、[V]=[J/C]であった。。
  「電流」とは「電荷」の移動速度、すなわち[A]=[C/s]であった。
  
  [W]=[V・A]=[(J/C)・(C/s)]=[J/s]
  
  となり、「電力」とは、1秒間あたりに移動する「仕事・熱・エネルギー」、すなわち「仕事率」ということになった。
  
  当然、逆に、[J]=[W・s]であり、「仕事」=「電力」×「時間」、正確に言うと「仕事は、電力を時間で積分したものである」となる。
  
  
  
  
  
  
  
  
• 電流と磁界
  
  

  「電流と磁界」の3つの側面 電流は、まわりの空間に磁界を作る。・・・・・右ねじの法則 磁界の内部の電流・荷電粒子は、力を受ける。・・・・・フレミングの左手の法則・ローレンツ力 磁界の変化は、起電力(電位差)を生み出す。・・・・・電磁誘導（レンツの法則）

  
  
  
  1. 電流は、まわりの空間にそれに比例した大きさの磁界を作る。発生する磁界の向きは、電流を「右ねじ」の進行方向としたときの、「右ねじ」の回転方向である。
     
     

     無限に長く伸びた直線電流が、 そこからr[m]離れた場所に作る磁界[N/wb=A/m]
     単位長さ(1[m])あたりの巻き数がn0[1/m]であるコイルが、 その内部に作る一様な磁場[N/wb=A/m]	H=n0I

     
     
     
  2. 磁界の内部の電流は、磁界の大きさ、電流、電流の流れる銅線の長さ、に比例した力を受ける。その向きは、左手の親指(力)、人差し指(磁界)、中指(電流)、である。
     
     

     磁束密度B[T=wb/m2]の磁界の内部にある長さl[m]の導線を流れる電流I[A]には、 F=BIl で表される力F[N]が生じる。 (ただし、B=μH  、  μは、透磁率)

     
     
     
  3. 磁界が変化すると、その変化を打ち消すような新たな磁界を作り出すように、電流が流れる。
     
     レンツの法則
     
     
     磁束Φ[wb]は、磁束密度B[T=wb/m²]、閉回路の面積S[m²]、さらに、磁場H[N/wb=A/m]、透磁率μを用いて、
     Φ=BS=μHS
     である。
     
     
  
  
  
• 「交流」のでき方
  
  下の図は交流発電機の概念図である。左から右に向かう磁場を横切って、長方形のコイルABCDが反時計回りに角速度ω[(rad)/s]で回転させる。ABの先には抵抗が接続されている。
  右図はこれを回転軸上手前から眺めたものである。平面ABCDの単位法ベクトルをn、これがx軸となす角をθとすれば、長方形ABCDをつらぬく磁束Φは、
  
  
  
  Φ=B・nS=BScosθ=Babcosθ[wb]
  
  とかける。時刻t=0にnがx軸方向、すなわち、長方形ABCDがy軸上にあったとすると、t秒後の磁束は、
  
  Φ=Babcosωt[wb]
  
  レンツの法則より、
  
  
  
  ωBab=V₀とおけば、抵抗の両端には、振幅V₀でサインカーブを描いて時間的に変化する「交流」の起電力が得られることになる。
  
  V=V₀sinωt
  
  

  回路を横切る磁場の大きさ	発生する起電力

  
  
  
  
  
• 交流電圧の実効値
  
  

  上で得られた交流電源、 V=V0sinωt について、1周期T=2π/ωについての平均をとると、
  となり、0になってしまう。このようにプラスマイナスの間を変動する量は、そのまま平均をとっても、その実質的な「大きさ」を把握できないことが多い。このようなとき「2乗平均の平均値」という手法が、しばしば用いられる(「気体分子運動論」における「2乗平均速度」、統計学における「分散・標準偏差」の概念、など)。
  こうして得られた電圧の2乗平均の正の平方根を、電圧の「実効値」と呼びVeと書く。

  
  
  
• 変圧器の原理と交流による電力輸送
  

  左側の回路(1次コイル)に交流電流を流すと、「相互誘導」により、右側の回路(2次コイル)のコイルの両端に誘導起電力が発生する。 1次コイルにかかる電圧を、V1sinωtとすると、1次コイルを流れる電流I1は、 これによって、2次コイルの両端には、次のような誘導起電力が発生する。 n1,n2,l1,l2は、それぞれのコイルの「単位長さあたりの巻き数」および「長さ」だから、断面積が等しくS1=S2とすれば、それぞれのコイルの「巻き数」をN1,N2として、 |V1|:|V2|=N1:N2 1次コイルと2次コイルの巻き数の比が、そのまま電圧の比になる。

  
  こうして、交流では、直接に導線がつながっていない回路にも、「電磁誘導」を利用することで、新たな電流を発生させることができる。
  
  これが、安全な電力輸送のためには、どうしても交流を用いなければならない理由である。