光の粒子性と物質の波動性

• 光の波動性
  
  ヤングの実験で見られるように、光は、「干渉」（「重ね合わせの原理」に基づく）、「回折」など、「波動」の性質を示す。しかし、「波動」は「媒質」がその場所を中心に振動し、それが次々に回りの媒質に伝えられることでエネルギーを伝達するものである。たとえば音波は、空気などの媒質が波の進行方向と同じ方向に振動を繰り返す「粗密波」（縦波）である。
  これに対して、光は「媒質」の存在しないと思われる真空中でも伝播する。光が「波動」だとすれば、いったい何が「振動」しているのか？
  
  
• 電磁波
  
  電磁気学を体系化したマックスウェルは、「電磁波」の存在を予見し、後にその実在が実証された。
  
  
  
  
  • 電磁波の発生
    
    

    たとえばＬＣ振動回路では、 コンデンサの両端の電位差は コイルの自己誘導起電力は キルヒホッフ第２法則より ここで、 と仮定すると、 この式が時刻tにかかわらず成立するとすれば であらわされる振動電流が流れる

    コンデンサの両端の電位差は したがってコンデンサの極板間に生じる電場は マックスウェルの第4式「変動する電場は磁場を発生させる」 マックスウェルの第2式「電磁誘導の法則：変動する磁場は電場を発生させる」 こうしてＬＣ振動回路のコンデンサの周りの空間には、相互に振動する電場と磁場が生じる。これが電磁波であって、その「媒質」は「電場」および「磁場」ということになる。

    
    
    
    
  • 電磁波の種類
    
    電磁波は、波の進行方向と振動面が直交する横波であり、電場と磁場のそれぞれの振動面も直交している。
    電磁波は、その波長にかかわらず、光の速度で進行する。
    

    波長(m)	電磁波の種類
    	電波
    	赤外線(IR)
    	可視光線（赤・橙・黄・緑・青・藍・紫）
    	紫外線(UV)
    	Ｘ線
    	γ線

    
    

• 光の粒子性
  
  
  • 黒体放射理論
    
    すべての波長の光を吸収し、一切反射しない物体を「完全黒体」という。太陽は「完全黒体」である。黒体は回りの温度より高温になると光を放射する。
    物体が光を放射するのは、物体を構成する原子のもつ原子核や電子という「荷電粒子」が熱振動を行い、これによって電場と磁場の変動が生じるからである。
    放射された光のスペクトル（横軸に振動数、縦軸に強度をとった分布図）のパターンは温度が上昇するごとにもっとも強い光の成分が振動数の高い側に移行するが、そのグラフを理論的に説明することには困難が伴った。
    プランクは「光の持つエネルギーがｈν（ｈ：プランク定数、ν：振動数）の整数倍しか取り得ない」と仮定すれば説明が可能であることを発見した。
    このように不連続な、ある整数に関連付けられた「とびとびの」値しか取れないことを「量子化されている」という。
    
    
  • 光電効果
    
    
    金属に光を当てると電子が飛び出す。
    波はエネルギーを伝えることができるから、金属に拘束されている電子に大きなエネルギーを与えこれを金属外にはじき出すことは、波動性からも説明可能と思われた。
    
    
    • しかし、その実験結果はいくつかの点で光を波動と解釈する限り説明不可能な点を含んでいた。
      • ある一定の振動数以下の光を照射しても電子はひとつも飛び出さない。
        電子が金属から飛び出してくるのは、その電子を金属に拘束している金属結合のエネルギーを超えるエネルギーが与えられ、その差が運動エネルギーとなると解釈される。
        光が波動であるならば、波のエネルギーは振動数および振幅の関数だから、仮に振動数が小さくてもその強度（振幅）を高めることによって大きなエネルギーを電子に加えることができるはずだからこの事実は波動性では説明できない。
      • ある一定の振動数を超える光を照射すると、電子は、その瞬間、直ちに飛び出してくる。
        波は時間の関数であるから、それが伝えるエネルギーも時間的に増大し蓄積されるものと考えられる。
        エネルギーの小さな波ならば電子が飛び出すのに必要なエネルギーが蓄積されるまでに時間がかかるはずだ。この結果も波動性では説明できない。
      • ある一定の振動数を超える光であるならば、振動数を一定にすると、飛び出す電子の量（観測される電流の値）は光の強さに比例する。
        この事実は、波動性からも説明が可能。
      
      
      
    • アインシュタインは「振動数νの光は、エネルギーｈνを持つ『粒子』である」として、光電効果の実験結果を説明した。
      
      
      

      光量子説	エネルギー		光は左に示されたエネルギー及び運動量をを持つ粒子である。 光量子は質量を持たず、したがって、 「運動エネルギー、位置エネルギー、などを観念することができない。
      	運動量

      
      
      
      • 「光量子・光子」の持つエネルギーは振動数νのみによって決定される。光電効果で光電子が飛び出してくるのは、電子と光子の「衝突」として説明される。したがって、衝突する光子がある振動数（限界振動数）以下であれば、電子を金属の拘束から解き放って飛び出させることができない。
      • 限界振動数を超える光ならば、たとえ弱い光でも、直ちに光電子が飛び出してくるのも、この「衝突」モデルで説明できる。光子は金属内の電子に衝突すると同時に、そのすべてのエネルギーを電子に与え、光子自らは消滅する、と考えられる。（完全弾性衝突では、力学的エネルギーが保存される。衝突した粒子が静止したとすれば、すべての運動エネルギー、すべての運動量が、衝突された粒子に「伝えられた」ことになる。光子では、質量が存在しないから、エネルギーと運動量をすべて失って、「消滅」する。）
      • 光のエネルギーがｈνの整数倍に「量子化」されているのは、光子という「粒子」が振動数のみによって決定される一定のエネルギーしかとり得ないからであり、光の「強さ」は光子の「個数」に対応する。光の強さを高めると光子の個数が増え、それと衝突して飛び出す光電子の数も増大する。
      
      
      
    • 光電効果の実験
      
      図で、Ａは光電子を飛び出させる金属板、Ｂは飛び出した電子を受け止める「陽極」だが、ＡＢ間の電位差は可変抵抗ＰＱによって相対的にどちらを高電位にすることもできる。Ｑ側にスライドさせると、ＢはＡより高電位になり、金属から飛び出した光電子は電場による力で加速されＢ極に容易に到達できる。Ｐ側にスライドさせると逆にＡがＢより高電位となるので、金属から飛び出した電子もよほど大きな運動エネルギーを持っていなければ、電場による力によって減速されてしまいＢ極に到達できなくなってしまう。

      

      
      
      特定の振動数、特定の強さの光を照射させたまま、可変抵抗の端子をＰからＱにスライドさせていくと、初めて電流が流れ始めたときの電圧（阻止電圧）を記録することにより、光電子の持つ運動エネルギーの「最大値」を測定することができる。（自由電子は金属内部では、それぞれの瞬間にさまざまな大きさの運動エネルギーを持っており、これらが光子のエネルギーｈνを受け取って、金属結合の拘束を解き放って金属外部に出る。その中でもっとも大きな運動エネルギーを持っていた電子のみがＢ極に到達できる。）
      
      電子を金属に拘束しているエネルギー、すなわち、最大の運動エネルギーを持っていた電子を金属外部に引き出すのに必要なエネルギー、を「仕事関数」Ｗと呼ぶ。これは金属の種類によって固有の値をとる。
      
      実験結果のグラフが、このように１次関数で表されることから、光量子説の正しさが裏付けられた。

      

      ：光電子の運動エネルギーの最大値 ：初めて光電流が流れたときのＡＢ間の電位差（阻止電圧） ：限界振動数 ｅ：電気素量、電子1個の持つ電荷

      
      
      
  
  
  • コンプトン散乱
    
    
    可視光線よりもはるかにエネルギーの大きい電磁波であるＸ線を物体に照射する。物体を構成する原子の軌道電子はクーロン力で原子核と引き合っているだけだから、金属に拘束されている自由電子よりも容易に原子の外に飛び出さされる。
    
    光電効果では、電子を金属外に運び出すのにエネルギーが費やされ、光子自体はエネルギー、運動量ともに失って消滅したが、ここでは、光子と電子は、あたかも二つの粒子が弾性衝突を行うかのように、電子は弾き飛ばされ（反跳電子）、エネルギーと運動量が減少した光子もまた方向を変えて進行する(散乱Ｘ線）様が観察された。
    

    

    
    光量子説から導かれる「エネルギー」、「運動量」の定義を、ニュートン力学の「力学的エネルギー保存則」、「運動量保存則」に適用するだけで、この実験結果を完全に説明できたことが、光量子説の更なる裏づけとなった。
    
    
    
    • エネルギー保存則（スカラー量）
      ・・・�@
      
    • 運動量保存則（ベクトル量）
      • x方向
        ・・・�A
      • ｙ方向
        ・・・�B
        
        
      • 実験結果から得られた結論は、散乱Ｘ線の波長と入射Ｘ線の波長の差が、入射Ｘ線の波長に無関係で、散乱角ψのみの関数で表されたことである。すなわち、
        ・・・�C
      • ＜計算＞
        • �A�Bからθを消去する
          
          
          両辺を２乗して加えると
          
          SinとCosの関係から
          
          
          
        • 一方、�@より
          
          
          平方完成
          
          ここで�刄ﾉを導入する
          
          
          
          左辺第１項は充分に小さいと考えられるから、これを０とみなすと、�C式が得られる。

• 物質の波動性
  
  
  • ド・ブロイ波
    
    ｢波動｣であると考えられていた光、Ｘ線などの電磁波に「粒子」としての性質がある、波動・粒子の｢二重性」があると考えないと現象の説明がうまくできないことが明らかになってくると、今度は逆に、明らかに質量を持つ電子のような物質にも「波動」性があるのではないかと考えられ始めた。これをはじめに提起したのがド・ブロイである。
    
    

    光量子説	エネルギー		光は左に示されたエネルギー及び運動量をを持つ粒子である。 光量子は質量を持たず、したがって、 「運動エネルギー、位置エネルギー、などを観念することができない。
    	運動量
    物質波 （ド・ブロイ波）	運動量		質量mをもち、速度vで運動する粒子には、 左に示された関係を満たす波長の波動が伴う。 (波長λは質量mに反比例するので、大きな質量を持った物質では 通常この波動が観測されることはない。)

    
    
    
  • ボーアの電子モデル
    
    
    • 原子の内部構造について研究が重ねられ、中心に正に帯電した原子核と、その回りに負に帯電した電子が存在することが明らかになってきた。
      しかし、これをクーロン力を向心力とする等速円運動と考えると、矛盾が生じる。すなわち、
      
      
      • 等速円運動では速度の大きさは変化しないが、ベクトル的には時間にともなって速度が変化する。荷電粒子の速度が時間的に変化すれば、周りに空間に変動する電場が生じ、これが変動する磁場を生じ、電場と磁場の相互作用によって、｢電磁波｣が発生するはずだ。
        等速円運動する電子が、電磁波を放出すれば、それは次第にエネルギーを失い、回転半径が小さくなり、たちまち原子核に衝突してしまうだろう。しかしこのようなことは現実には起こっていない。
        
        
      • 放電管の中の水素原子が発光するのは、外部からエネルギーを受け取って「励起」された電子がもとの軌道に戻るときに電磁波を放出してエネルギーを失うからだと考えられる。
        しかし、クーロン力の位置エネルギーは半径に反比例する連続的な値をとりうるから、その電磁波はさまざまな波長を含む｢連続スペクトル｣を描くはずだ。しかし、実際に観測された波長は、整数nに関連付けられたとびとびの値しかとれない｢線スペクトル｣に、「量子化」されていた。
        
        
      
      
      
    • ボーアは、ド・ブロイの「物質波」のアイディアから、軌道を回転する電子が｢波動性｣を有し、その回転軌道の長さ(2πｒ）が波長の整数倍であるという｢定常波｣の条件を満たす軌道にしか電子は存在し得ない、というきわめて簡単な仮定から出発して、現実に観測された水素原子のスペクトルをかなり高い精度で説明することに成功した。
      
      
      • 量子条件：電子は不連続な値を持った(量子化された)いくつかのエネルギー状態しかとることができない。これを｢定常状態｣と呼ぶ。
      • 振動数条件：電子がひとつの定常状態から別の定常状態に移るとき、光を放出する。その光(光子）のエネルギーは、二つの定常状態の持つエネルギーの差に等しい。
        
      • ＜計算＞
        • 電子が半径rの円軌道を運行するとし、その軌道の長さが｢電子波」が定常波を作る条件を満たしている、すなわち、波長の整数倍であるとすると、
          ・・・�@
        • 運動方程式：クーロン力を向心力とする等速円運動
          ・・・�A
        • 電子の持つ運動エネルギー
          
        • 電子の持つクーロン力による位置エネルギー
          
        • 電子の持つ全力学的エネルギー
          ・・・�B
        • �@�Aからvを消去
          
        • rについて解くと
          
        • これを�Bに代入、整数nに対応する定常状態のエネルギーとすると
          
        • 振動数条件より
          
          
          ここにRは「リュードベリ」定数と呼ばれる。 ｎ’は励起された電子が、エネルギーを失って「落ち着く」先の軌道を表しており、1のとき｢ライマン系列」、2のとき｢バルマー系列｣、3のとき｢パッシェン系列｣と呼ばれるスペクトル系列であるが、ボーアの計算式によりこれらの振動数分布をかなり高い精度で算出することができた。

          

原子・電子に関するその他の問題

• 質量とエネルギーの同質性
  
  
  • ラザフォードは銀の薄膜にα粒子を衝突させ、その散乱を調べる実験をしていたが、その際、ほとんどのα粒子は散乱されずに通り抜けてしまうことを発見した。このことから原子の内部は、非常に隙間の多い構造を取っていることが明らかになった。核外電子を含めた原子全体の大きさと、その中心にある原子核の大きさとの比は、「校庭の真ん中に置かれたピンポン玉」にたとえられるという。
    このように原子核が小さく密集した塊だとしたら、それを構成する粒子間にはどのような力が作用しているのだろうか？
    中性子は電荷を持たないが、陽子は正電荷を持つから、複数の陽子を固めておくにはクーロンの斥力上回る大きな力が必要なはずである。
  • 一方で、原子核の質量は、それを構成する陽子及び中性子の質量の和に比べて、わずかだか小さい値をとっていることがわかった(質量欠損)。
  • アインシュタインは、質量とエネルギーとは同質であり、以下の式で示される関係で結ばれており、質量欠損に相当するエネルギーが核子(陽子及び中性子)間の結合に用いられている、とした。

    質量とエネルギーの同質性

• 放射性崩壊
  
  
  • 原子番号が同じ、すなわち陽子数が等しく、質量数が異なる、すなわち中性子数が異なる元素を「同位体」という。
    このうち、安定に存在できず、放射性崩壊を起こして他の安定な元素に変わるものを「放射性同位元素」と呼ぶ。
  • 放射性崩壊には、以下の3種類の形態がある。
    
    

    崩壊の形態	放射能の実体	質量	電荷	エネルギー	透過力
    α崩壊	ヘリウム原子核	大	+2	大	小
    β崩壊	電子	小 電子の質量は 陽子・中性子の1/1850	-1	中	中
    γ崩壊	電磁波 波長(m)	0	0	小	大

  
  
  
• 放射性炭素を用いた年代測定
  
  
  
  • 放射性同位元素が崩壊する過程は「確率論的過程」であり、ある特定の原子が「いつ」崩壊を起こすかは決定することができない。
    
    しかし、一定量の放射性同位元素についてみると、一定の時間内にどのくらいの割合（確率）で崩壊を起こすかは、その同位元素の不安定性によって決定されている。
    
    放射性崩壊を起こして他の元素に変わるのだから、これは放射性同位元素が「減少」する過程であって、したがって、単位時間に減少する放射性同位元素の数、すなわち「減少速度[（個数）/s]」は、現在残っている放射性同位元素の数に比例する。すなわち、
    
    
    
    一階微分がもとの関数に比例する関数は、指数関数である。
    
    とおけば
    
    
    
    となり、である。
    
    また、のとき、とすると、であるから、
    
    
    
    となる。
    
    指数関数のグラフは、どの一部分をとっても、全体と相似であるという特質を持っている。はじめに立てた微分方程式が示しているように、現在量がある一定の割合まで減少する時間は常に等しい。そこで、「半減期」という概念が用いられるようになった。現在量が1/2になる時間をTとすれば、
    
    すなわち、、これを用いてkを消去すれば、
    
    
    
    

    

    
    
    
  • 環境に存在する放射性炭素と、非放射性の通常の炭素 との存在比率は、放射性炭素の崩壊と生成の速度が平衡に達していて一定の値を示している。
    
    生きている植物は光合成と呼吸を通じての二酸化炭素のやりとりを行っているから、体内に外界の炭素 と同じ組成を維持している。しかし、植物が死ぬと、外界との炭素のやりとりがなくなるため、放射性炭素の濃度は、崩壊によって減少する一方である。
    
    古代の地層から発掘された植物の化石、遺跡から発掘された木片など、植物の死骸に残留している放射性炭素の存在比率を調べれば、放射性炭素の半減期から、その植物が死んでからどれだけの時間が経過しているかを知ることができる。