波の基本式

• 波の基本式
  
  ｢波｣は、1点における振動が、まわりの空間を満たしている｢媒質｣によって、いくらかの時間的な｢遅れ｣をともなって、他の場所に｢伝播｣していく現象である。
  
  座標原点において、y軸方向に質点が単振動を行っていたとする。｢単振動｣とは｢等速円運動｣の正射影であり、横軸に｢時間｣をとるとsinまたはcosの曲線で表すことができる。質点のまわりの空間は、空気･水などの媒質で満たされており、これらの媒質は｢粘性｣を持つから、質点の運動によってもたらされた媒質分子の元の位置からの｢ずれ｣が、隣接する媒質分子にも｢ずれ｣を引き起こし、原点での振動が、距離に比例した時間的な遅れをともなって、まわりの空間に伝えられていく。その空間的な広がりも、たとえばx軸方向の｢ずれ｣の分布もまた、sinまたはcosの曲線で表されることになる。
  
  この｢波動｣という現象を記述する数式は、従って、xという空間的な｢場所｣を表す変数と、tという｢時刻｣を表す変数を含んでいる。
  「時刻」tにおける、「場所」xでの、y軸方向の｢変位｣y(x,t)をxおよびtの関数として記述することが、ここでの目的である。
  
  ｢場所｣x=0(原点)において、質点が次の式で表される単振動を行っていたとする。
  
  
  • A:振幅(y軸方向の変位が最大値または最小値を示すときの、原点からの隔たり[m])
  • ω:｢角速度｣または｢角振動数｣(等速円運動の角速度[(rad)/s])
  • T=2π/ω:｢周期｣(等速円運動をする点が1回転するのに要する時間[s])
    と表される。
  
  原点からx[m]だけ離れた場所には、この振動はどのように伝えられるだろうか？
  
  波の｢伝播速度｣をv[m/s]とすれば、場所x[m]において時刻t[s]に生じている現象は、原点からそこに到達するのに(x/v)[s]かかっているから、原点においてすでにその(x/v)[s]前に起こった現象と同じはずである。
  従って、
  
  
  
  ここで、T=2π/ωの関係から、
  
  
  
  またここで、周期T[s]は、波が1波長分の長さだけ進行するのに必要な時間だから、
  
  T=λ/v
  
  この関係を用いて、
  
  
  
  こうして波の｢基本式｣が得られた。右辺の最後の式の中括弧の中の第1項は、波を「時間」の関数としてとらえるとき、その『尺度』は周期Tであり、第2項は、波を「場所」の関数としてとらえるとき、その『尺度』は波長λであることを表している。
  
  上の議論では、波がx軸の正方向に進行することを前提としていた。x軸の負の方向に進行する波の場合、場所x[m]において時刻t[s]に生じている現象は、原点には、そこに到達するのに(x/v)[s]かかるはずだから、原点においてその(x/v)[s]後に起こる現象と同じである。
  従って、
  
  
  
  

  波の基本式
  右向き(x軸の正方向)進行波:
  左向き(x軸の負方向)進行波:
  y(x,t):場所x[m]、時刻t[s]におけるy方向の変位[m] A:振幅[m] T:周期[s] λ:波長[m]

  
  これらの二つの波が、同時に発生したとき生じる現象について検討したい。その前に、「重ね合わせの原理」について述べる。
  
  
  
  
• 重ね合わせの原理
  
  複数の波源で発生している波が、ある一つの場所に同時に到達したとき、その変位はそれぞれの波の持つ変位の、単なる算術的な加算によって表されることが知られている。これを「重ね合わせの原理」という。
  
  この「原理」を拡張して考えると、時刻tにおける任意の「波形」が、次のようなシンプルな単振動の和として表現できることがわかる。
  
  
  
  これを「フーリエ級数展開」と呼ぶが、これは時々刻々変化する波動のある特定の一瞬の「形」を、原理的には「無限個」であるが、近似的には「有限個」のa_n,b_nの数値の「セット」として把握できることを意味する。 これが「デジタル」技術の根幹である。
  
  n=3程度でも、波長の異なる波を重ね合わせると、さまざまな形の波が得られる。2つほどサンプルを挙げる。図の中の破線、点線で表された3つの波を重ね合わせると、実線であらわされた波形になる。
  
  
  
  
• 三角関数の｢和積の公式｣
  
  三角関数の｢加法定理｣のうち、sinに関する2式
  
  
  
  の両辺を加えると、
  
  
  
  ここで、α+β=A,α-β=Bとおけば、α=(A+B)/2,β=(A-B)/2となるから、
  
  
  
  また、両辺の引き算を行うと、
  
  
  
  同様に、
  
  
  
  これらを用いて｢定常波｣の発生が説明できる。
  
  
• 定常波
  
  振幅A、波長λ、伝播速度vの右向き進行波
  
  
  
  と、同じく振幅A、波長λ、伝播速度vの左向き進行波
  
  
  
  が、｢重なり合う｣と、
  
  
  
  上の｢和積の公式｣を用いて、
  
  
  
  この式の特徴は、「時刻」に関する(t/T)の部分と、｢場所｣に関する(x/λ)の部分が、独立に、掛け算の形をとっていることにある。
  ｢場所｣を固定して考える。すなわち「場所」x=x₀では、
  
  
  
  とかけるから、一定の振幅{2Acos2π(x₀/λ)}で、単振動を行っていることがわかる。
  ｢時刻｣を固定して考える。すなわち「時刻」t=t₀では、
  
  
  
  となり、この波は、時刻によってその最大値最小値は変えるものの、常に同じcosの｢形｣をした波、決して｢進行｣しない波を表していることがわかる。これが｢定常波｣であり、
  
  
  
  となる点、すなわち、任意の整数nに対して、となる点が｢節｣であり、
  
  
  
  となる点、すなわち、任意の整数nに対して、となる点が｢腹｣である。
  
  
• 「固定端」と「自由端」、「固定端反射」と「自由端反射」
  
  弦楽器の弦のように、振動する媒質の一端が｢固定｣されているものを｢固定端｣と呼び、ロープの一端を持って上下に振動させたときのように震動する媒質の一端が固定されていないものを｢自由端｣と呼ぶ。
  
  進行する波が、性質の異なる媒質との境界面で｢反射｣を行う際、｢固定端反射｣、｢自由端反射｣と呼ばれる、2種類の異なった様式をとることが知られている。
  
  
  1. 「固定端反射」の条件
     反射を行う端点において、入射波と反射波の合成波の振幅が0であること。入射波と反射波によって｢定常波｣が作られた場合、端点は｢節｣となる。
     
     
  2. ｢自由端反射｣の条件
     反射を行う端点において、入射波と反射波の合成波の振幅が等しいこと。入射波と反射波によって｢定常波｣が作られた場合、端点は｢腹｣となる。
  
  
  これらを数式によって確認する。
  x軸上の定点x=lの地点に壁面があるとする。
  この地点に、以下の式で表される｢右向き｣進行波が到達した。
  
  
  
  この波の壁面x=lにおける変位をy₁とすると、
  
  
  
  この壁面で発生する｢反射波｣の変位をy₂とすると、
  1. 固定端反射の場合、
     y₁+y₂=0であるから、
     
     
     
     これを｢波源｣として、左向き(x軸方向負の向き)に進行する波を考える。
     「場所」xにこの波は、(l-x)/v秒後に到達する。従って、反射波y'(x,t)は、
     
     
     
     ここで、sin(π+θ)=-sinθであるから、
     
     
     
     これをもって、｢固定端反射｣においては｢位相がπずれる｣といわれる。
     
     固定端反射では、入射波と反射波は、点(l,0)に関して、点対象である。
     
     合成波はY(x,t)=y(x,t)+y'(x,t)であらわされるから、
     
     
     
     ここで、
     
     
     
     を用いて、
     
     
     
     Y(l,t)=0であるから、反射点は｢節｣である。
     
     
  2. 自由端反射の場合、
     y₁=y₂であるから、
     
     
     
     これを｢波源｣として、左向き(x軸方向負の向き)に進行する波を考える。
     「場所」xにこの波は、(l-x)/v秒後に到達する。従って、反射波y'(x,t)は、
     
     
     
     これをもって、｢自由端反射｣においては｢位相がずれない｣といわれる。
     
     自由端反射では、入射波と反射波は、直線x=lに関して、軸対象である。
     
     合成波はY(x,t)=y(x,t)+y'(x,t)であらわされるから、
     
     
     
     ここで、
     
     
     
     を用いて、
     
     
     
     x=lにおいて、振幅は最大値2Aをとるから、 反射点は｢腹｣である。
     
     
  3. 波の基本式、初期位相、振動速度分布、y-tグラフとy-tグラフ
     
     上で、「波の基本式」を導いたが、これはいずれもsinの形を前提としていた。時刻t=0のとき、変位yが0であると決めていたからだ。もっと一般的に考えるために、時刻t=0のとき、変位yが0でない場合も含めて、｢初期位相｣という概念を導入する。
     
     

     波の基本式
     右向き(x軸の正方向)進行波:
     左向き(x軸の負方向)進行波:
     y(x,t):場所x[m]、時刻t[s]におけるy方向の変位[m] A:振幅[m] T:周期[s] λ:波長[m] φ:初期位相[(rad)]

     
     
     φにさまざまな値を代入することで、時刻t=0のとき、変位yが0でない場合も表現することができる。
     
     次に、波はy軸方向のみを考えると｢単振動｣なのだが、その振動の速度v_yが、波のそれぞれの場所で、どのような分布をとっているのかを調べたい。右向きの進行波について考える。
     
     
     
     v_yは、y方向の速度であるから、dy/dtである。
     
     
     
     前にも述べたように、｢波｣という現象は、時刻tにおいて、xという場所で、どのような変位yをとるか？ということを問題にするため、どうしても｢3次元｣が必要になる。しかし、人間は、紙の上では、2次元しか認識できないから、｢独立変数」t,xのいずれかを、｢定数｣に固定しなければグラフが描けない。
     
     以下に、初期位相φとして、φ=0,φ=π/2,φ=π,φ=3π/2、という代表的な4つの場合について、
     • 時刻t=0のときの、y-xグラフ(これは｢波形｣を表す)
     • 時刻t=0のときの、v_y-xグラフ(これは、場所ごとの｢振動速度分布｣を表す)
     • 場所x=0における、y-tグラフ(原点における｢単振動｣による、変位の時間的変化)
     のグラフを示す。
     
     
     
     
     
     
     
     

     φ=0
     y-xグラフ(t=0)	vy-xグラフ(t=0)	y-tグラフ(x=0)
     φ=π/2
     y-xグラフ(t=0)	vy-xグラフ(t=0)	y-tグラフ(x=0)
     φ=π
     y-xグラフ(t=0)	vy-xグラフ(t=0)	y-tグラフ(x=0)
     φ=3π/2
     y-xグラフ(t=0)	vy-xグラフ(t=0)	y-tグラフ(x=0)

波

• y-xグラフ・y-tグラフ・振動速度分布(v_y-x)グラフ・
  
  ｢波｣という現象は、媒質の｢空間的｣な変動が、｢時間的｣に移動して伝わる、というとても複雑な構造を持っている。数学的に言うと、振動の中心点からの隔たり｢変位｣yが、｢場所｣xと｢時刻｣tという2変数の関数で表される、ということになる。
  人間の目は2次元の情報しか処理できない。熱力学で、気体の圧力P・体積V・絶対温度Tという3個の変数があるにもかかわらず、P-Vグラフで考えなければならなかったのと同様、ここでも、y-xグラフ、y-tグラフを分けて考えなければならない。
  3つの変数のうち2つしか処理できないのだから、あとの一つは一定値だとしなければしょうがない。
  t=0におけるy-xグラフ、x=0におけるy-tグラフ、のように。
  
  上のグラフは、ある波のt=0と、その｢微小時間｣後t=Δtにおけるy-xグラフを1枚の図面に重ねて描いたものだ。それぞれのグラフは、その瞬間における波の｢空間的｣な広がり、つまり波の｢形｣を表しているに過ぎないが、2つを同時に眺めると｢時間的｣な動きがわかる。
  
  このグラフから何が読み取れるか?
  • この波は、右向き(x軸の正の方向)に進行している。
  • x=0という特定の｢場所｣に注目すると、そこでの｢変位｣は負に向かって変化していくであろう。
  • x軸上の各点についてt=Δt(破線)のグラフの変位から、t=0(実線)のグラフの変位を引き算すると、その量はΔt秒間における変化量だから、ここからy方向の速度(振動速度)がわかる。
    x=0付近では、下向き(y軸の負の方向)に最大、グラフの極大・極小の点付近では、ほぼ0である。
  
  これらの情報から、この波の｢x=0におけるy-tグラフ｣、｢t=0におけるv_y-xグラフ(振動速度分布グラフ)｣を｢復元｣すると、次のようになる。
  

  y-xグラフ(t=0)

  y-tグラフ(x=0)

  vy-xグラフ(t=0)

  
  
• 波を表す諸量
  
  
  • 波長λ[m]：波の｢空間的｣な広がりの1単位。
  • 進行速度(伝播速度)v[m/s]：媒質の｢疎・密｣の影響を受け、｢密｣であるほど遅くなる。
  • 周期T[s]：1波長進行するのに要する時間。
  • 振動数(周波数)f[Hz=1/s]：1秒間の振動回数。
    
  
  
• 縦波(疎密波)を横波に変換する
  
  波の進行方向と振動方向が、同一である波を縦波という。音波は、空気という媒質の｢疎｣な部分と｢密｣な部分が交互につながりながら進行し、人間の鼓膜を振動させることで感知される。
  
  縦波の様子をそのまま画に表してもわかりにくいので、これを横波(波の進行方向と振動方向が直行している波)に変換して表す。振動していないときの媒質の各点の位置を基準にして、｢右向き｣の変位を｢上向き｣の変位に、｢左向き｣の変位を｢下向き｣の変位に読み替えてグラフを作る。
  
  

  疎密波 (媒質の各点の位置) 基準点 (振動していないとき) 横波 (右向きの変位を 上向きの変位に読み替えた)

  
  
  横波のグラフのB点では、媒質はそこより左側では｢右向き｣の変位、右側では｢左向き｣の変位を持っており、つまり両側からB点に向かって媒質が集まっている。だから、｢密｣である。
  
  同様にC点では、媒質はそこより左側では｢左向き｣の変位、右側では｢右向き｣の変位を持っており、つまり両側ともB点から離れるように媒質が広がっている。だから、｢疎｣である。
  
  
  
  
  
  
• 重ね合わせの原理
  
  複数の波源で発生している波が、ある一つの場所に同時に到達したとき、その変位はそれぞれの波の持つ変位の、単なる算術的な加算によって表されることが知られている。これを「重ね合わせの原理」という。

  ｢重ね合わせの原理｣の一番簡単な例は、数学で学んだ｢三角関数の合成｣だ。 これは、同じ波長の正弦波が重なっても、やはり正弦波になることを表している。
  ｢うなり｣もまた、｢重ね合わせの原理｣で説明できる。 右の図は、振動数が20と18の同じ波長の正弦波を重ね合わせたものである。振幅が1秒間に約2回、大きく変動する。これが｢うなり｣として観測される。

  【参考】「うなり」を数式で説明する。
  • 同じ振幅A、振動数がf₁,f₂と、ごくわずか異なる波y₁,y₂を「重ねて」みよう。
    
  • 「和・積」の公式から、この波は、
    • 振動数(f₁+f₂)、ということは、元の波とほとんど変わらないsin型の波と、
    • 振動数|f₁-f₂|、(cosは「偶関数」だからf₁,f₂のどちらが大きくても同じ)の、非常に振動数が小さい、つまり波長がとても長いcos型の波の、
    「掛け算」になっている。これは、振幅が、大きな波長で、ゆっくりと変動することを意味する。
  • この振幅の変動の「振動数」は|f₁-f₂|、波は1周期に「山」と「谷」を一度ずつ行うから、「山」のときも、「谷」のときも、音は大きく聞こえ、「うなり」の振動数はその二倍、すなわち、
    |f₁-f₂|ということになる。
    
    
  
  
  
  
  
• 波の｢干渉｣
  
  「重ね合わせの原理｣によって、｢山｣と｢山｣、または｢谷｣と｢谷｣が重なると、変位は大きくなるから波は強められ、｢山｣と｢谷｣が重なると、変位が打ち消されつから波は弱められる。
  
  水面波の干渉について考える。
  少し離れた水面上の2点に振動を加え、同じ振動数、同じ｢位相｣の波を発生させる。1点で生じた振動は、水面のあらゆる方向に向かうから、その波面は｢同心円｣を描いて広がる。
  
  ｢2点からの距離の差が一定｣である点の軌跡は｢双曲線｣である(数学Ｃ)から、干渉によって次の図のような縞が出来上がる。同心円の太い線は｢山｣、細い線は｢谷｣、実線の双曲線は干渉によって強められた点、破線の双曲線は弱められた点を表す。
  2つの波源の垂直2等分線上の点は、かならず2点から等距離にあるから、これも強めあう点になる。
  
  2点の間に何本の線が引けるかは、波源間の間隔と波長との関係による。
  「三角形の二辺の差は、他の一辺より小さい」という理屈である。
    ( d : 波源間の間隔    λ : 波長    n : 引くことのできる線の本数)
  • 強めあう線の本数：  dnλ  (n=0,1,2,・・・)
    ただし、n=0は中央の「垂直二等分線」、他の自然数nに対しては、その両側に1本ずつ現れる。
  • 弱めあう線の本数：  d(2n-1)λ/2  (n=1,2,3,・・・)
    得られた自然数nが片側に現れる本数を表す。

  水面波の干渉
  波源間の距離：2 波長：1.1 強めあう線は、 n=0,1で、合計3本 弱めあう線は、 n=1,2で、合計4本	波源間の距離：2 波長：1.4 強めあう線は、 n=0,1で、合計3本 弱めあう線は、 n=1で、合計2本

  
  
  
  
  
  
  
• 反射と定常波
  
  ｢重ね合わせの原理｣により、反対向きに進行する同じ波長の波が重ねあわされると、媒質の各点が基準点を中心に振動するだけで、どちらにも進行しない波が出来上がる。これを｢定常波｣と呼ぶ。定常波には、まったく振動しない点(｢節｣と呼ぶ)と、もとの波の合計の振幅で大きく振動する点(｢腹｣と呼ぶ)が、等間隔で並ぶ。定常波の波長はもとの波の波長と同じであり、｢節｣と｢節｣、｢腹｣と｢腹｣の間隔はいずれも半波長である。
  
  波が端点で反射されると、波長を変えないまま進行方向が逆転するので、初めにあった進入波と反射波とで、定常波がつくられる。弦をはじいたときの振動や、管内の気柱の振動などがその例である。
  
  ところで、反射には、｢位相｣の変化について以下の2種類がある。
  
  
  • 進入波と反射波の変位の合計が、つねに0となるもの。したがって端点はつねに｢節｣(端点が動かないことから｢固定端反射｣と呼ぶ)。例：弦、閉管
  • 進入波と反射波の変位が、つね等しくなるもの。したがって端点では変位はその合計となるので、つねに｢腹｣(端点が大きく動くことから｢自由端反射｣と呼ぶ)。例：開管
  
  上の条件を満たす反射は、およびそれらを合成した定常波を作図するには、次のようなルールに従えばよい。
  
  
  • ｢固定端反射｣では、｢位相｣が半波長ずれる、といわれる。これは、進入波がそのまま進行した様子を描き、それを半波長分だけ平行移動し(右でも左でも、同じ)、それを反射面に関して裏返すことになる。三角関数の性質から、半波長分平行移動したグラフは、もとのグラフと必ずx軸対称だから、結局、進入波の延長を、反射面の中心に関して｢点対称｣に折り返す、ことになる。
  • ｢自由端反射｣では、｢位相｣がずれない、といわれる。これは、進入波がそのまま進行した様子を描き、それをそのまま反射面に関して裏返すことになる。つまり、進入波の延長を、反射面に関して｢線対称｣に折り返す、ことになる。
  
  
• 縦波(粗密波)の定常波
  縦波を横波に変換して表現するルールに従えば、基本的には同じであるが、｢節｣、｢腹｣のイメージがつかみにくい。
  
  
  • ｢節｣では、その中心では媒質(空気)は位置を変えないが、その周りの空気が｢節｣に向かって集まってきたり、｢節｣を中心にして左右に広がったりするから、ここでの空気の｢密度の変化｣は最大になる。
  • ｢腹｣では、変位が最大だから、媒質(空気)はその位置を左右に大きく変えるが、まわりの媒質も同じ方向に動くから、｢密度の変化｣は小さい。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  右向き進行波が、壁面を越えてそのまま進行した！
  固定端反射(壁面の中心に点対称)	自由端反射(壁面に軸対称)
  固定端反射(足し算・壁面が「節」)	自由端反射(足し算・壁面が「腹」)

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  右向き進行波が、壁面を越えてそのまま進行した！
  固定端反射(壁面の中心に点対称)	自由端反射(壁面に軸対称)
  固定端反射(足し算・壁面が「節」)	自由端反射(足し算・壁面が「腹」)

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  疎密波の反射による定常波(1)
  固定端反射	自由端反射
  t=0	t=0
  t=(1/16)T	t=(1/16)T
  t=(2/16)T	t=(2/16)T
  t=(3/16)T	t=(3/16)T
  各欄の上端に2本並んだ点の列が、｢疎密波｣の質点の位置を表す。(上：入射波、下：反射波) 右端が｢反射面｣である。 これらを、｢横波｣に変換したものが、下のグラフ。(○：入射波、×：反射波、●：合成波)

  
  
• 固有振動数と共鳴
  
  物にはその大きさや材質によって定まる｢固有振動数｣があり、外界からその振動数に等しい振動が加えられると振動を始める。これを｢共鳴(共振)｣と呼ぶ。
  テーブルがゆれると、その上に乗っていたさまざまの物体のうち、ある特定の大きさのコップだけが大きく揺れたりする。地震のとき、より頑丈なはずの建物の方が大きな被害を受けたりする、これらにも、この原理が関係している。
  複雑な形をした物体の｢固有振動数｣は、簡単にはわからないが、弦や、細い管内の気柱などでは、その長さだけで、｢共鳴｣の条件が決定できる。
  
  • 弦では、その両端が｢固定端反射｣をするから、両端が｢節｣となるような定常波を生じるような振動に対して共鳴する。
  • 一方の端が閉じた管内の気柱(｢閉管｣という）では、管の入り口は｢自由端反射｣、管の底では｢固定端反射｣を行うから、一方が｢腹｣、他方が｢節｣となるような定常波を生じる振動に対して共鳴する。
  • 両端が開いた管内の気柱(｢開管｣という)では、両端とも｢自由端反射｣を行うから、両端が｢腹｣となるような定常波を生じる振動に対して共鳴する。

  弦	閉管	開管
  基本振動	基本振動	基本振動
  2倍振動	3倍振動	2倍振動
  3倍振動	5倍振動	3倍振動

  
  
  
• 音
  • ドップラー効果
    
    • 音源移動
      
      • 音源が近づく場合
        
        音速V[m/s]、音源の移動速度u[m/s]、音源の波長λ[m]、周波数f[Hz=1/s]とする。��t秒間に音源から発せられたf��t個の波が、(V-u)��t[m]の長さの中に｢圧縮｣されているから、観測される波長は、
        [m]
        しかし、この波が観測者に到達する速度は、音速V[m/s]のままだから、結局、観測される波長は、
        [Hz=1/s]
        
      • 音源が遠ざかる場合
        同様に、観測される波長、および周波数は、
        [m]
        [Hz=1/s]
        
      
      
    • 観測者移動
      
      
      • 観測者が近づく場合
        
        音速V[m/s]、観測者の移動速度v[m/s]、音源の波長λ[m]、周波数f[Hz=1/s]とする。��t秒間に観測者のそばを｢通り抜ける｣波の個数、すなわち、観測される周波数は、
        [Hz=1/s]
        
      • 観測者が遠ざかる場合
        同様に、観測される周波数は、
        [Hz=1/s]
        
    
    
    
    
    
  • 反射音がつくる定常波、ドップラー効果と「うなり」の関係について
    
    
    • 音源から壁面に向かう進行波と、壁面からの反射波が、重ね合わされて定常波を作る。
      その波長は、
      定常波の1波長の中に「腹」は2回あるから、音源から壁面に向かって速度vで移動する観測者は、
      λ移動するごとに音が大きく聞こえるはずである。
      1秒間あたりのその回数は、
    • 音源から壁面に向かって移動する観測者が、
      直接音源から聞く音の振動数は、
      反射音の振動数は、
      したがって観測者が聞く「うなり」の振動数は、
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 光
  • 光に関する問題点
    
    現代の物理学では、光はもっぱら｢粒子｣として扱われる。光がそもそも｢波｣なのか｢粒子｣なのかの論争こそが、｢量子力学｣の出発点だった。光が｢波｣ではない、最もわかりやすい根拠は、｢媒質｣がなくても伝わることだ。太陽の光は、はるかな真空の距離を隔てて地球に到達し、生命活動を可能にするエネルギーを伝達している。
    
    光を含む｢電磁波｣は、電場と磁場の振動を本質としており、その点で｢波｣に類似した性質を持っている。そこで、高校で学ぶ物理学では、光をもっぱら｢波｣の一種として扱うが、やはり｢粒子性｣にもとづく性質がいろいろなところに顔を出し、簡単には説明できない問題をはらんでしまうのもやむをえない。
    
    

    反射	入射角と反射角は等しい 屈折率の小さい媒質(光学的に｢疎｣な媒質から、屈折率の大きい媒質(光学的に｢密｣な媒質に向かって反射するとき、反射波の｢位相｣は半波長ずれる(固定端反射)。 屈折率の大きい媒質(光学的に｢密｣な媒質から、屈折率の小さい媒質(光学的に｢疎｣な媒質に向かって反射するとき、反射波の｢位相｣はずれない(自由端反射)。	薄膜による干渉 くさび形薄膜 ニュートン環
    屈折	屈折率が大きい(光学的に｢密｣な)媒質中では、光の進行速度は小さくなり、波長も短くなる。 波長が短いほど、屈折角は大きくなる。(虹)	薄膜による干渉
    回折	一般に波は、その波長と同じぐらいか、またはそれより短い長さを持つ障害物に対して、大きく回折し、その裏側に回りこむ。 波長が数メートルの海面波は、幅数メートルの防波堤によって大きく曲げられ、港の内側にも波が押し寄せる。 光の波長は十分に小さいので、大きな障害物によっては、ほとんど回折しない。晴れた日に街路樹の陰が、道路にくっきりと映っているところを想像されたい。	ヤングの実験 回折格子
    干渉	波には｢重ね合わせの原理｣が成立するから、｢山｣と｢山｣、｢谷｣と｢谷｣が出会えばより振幅は大きくなり、反対に｢山｣と｢谷｣が出会えば、打ち消しあって振幅は0となる。 問題としている地点までに光がたどってきた距離の差｢光路差｣が、波長の整数倍であるとき、波は強めあい(明線)、半波長の奇数倍であるとき、波は弱めあう(暗線)。	ヤングの実験 回折格子 薄膜による干渉 くさび形薄膜 ニュートン環

    
    
    
    
    

    波長	長(低エネルギー)短(高エネルギー)
    	赤外線	可視光線 7.8×10-7m〜3.8×10-7m							紫外線
    色	-	赤	橙	黄	緑	青	藍	紫	-

    
    
    
  • レンズ
    • 凸レンズ（焦点距離外・倒立実像）
      
      
      
      

      であるから、 倍率：

      右側の等式の両辺にa fをかけて、       b f = a (b-f)       (a+b) f = a b 両辺をa b fで割ると、

      
      
      
    • 凸レンズ（焦点距離内・正立虚像）
      
      
      
      

      であるから、 倍率：

      右側の等式の両辺にa fをかけて、       b f = a (b+f)       -(a-b) f = a b 両辺をa b fで割ると、

      像の位置を表すbが「負」になるのは、レンズに関して、実物と「同じ側」だからだ（！）と考えればよい。
      
      
    • 凹レンズ（焦点距離内外いずれも・正立虚像）
      
      
      
      

      であるから、 倍率：

      右側の等式の両辺にa fをかけて、       b f = a (f-b)       -(a-b) f = -a b 両辺をa b fで割ると、

      像の位置を表すb、焦点距離fがともに「負」になるのは、いずれもレンズに関して、実物と「同じ側」だからだ（！）と考えればよい。
      
      
    • 凸レンズの作る倒立実像に関する「2次方程式」問題
      • 実物からスクリーンまでの距離をa+b=Lと固定する。
      • すると、ab=Lfとなるから、
        「解と係数の関係」より、
        • a+b=L
        • ab=Lf
        a,bは、tに関する2次方程式、
        t²-Lt+Lf=0
        の解となる。
      • このような（実数）解が存在するための条件は、
        L²-4Lf0
        すなわち、L4fである。
        焦点距離の4倍以上の装置を用意しなければならないことがわかる。
        等号が成立するときは、像を結ぶ場所は一箇所のみで、このときは、
        a=b=2fであるから、倍率は、ちょうど1である。
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • 屈折率
    
    
    
    平行光線が屈折率n₁の媒質から、入射角iで入射、屈折率n₂の媒質に入り、屈折角rで、境界面から遠ざかるように(i＞r)屈折した。
    
    l,l'は、平行光線の中の2本の光線で、位相がそろっている。
    l'が媒質n₂に入った点をA'、lが媒質n₂に入った点をBとすると、光軸に垂直な波面A-A'、B-B'は、それぞれ同位相である。
    
    したがって、それぞれの媒質での、波の進行速度v₁,v₂、および波長λ₁,λ₂の比は、
    
    
    
    と、表される。
    
    ここで、A'AB=i,B'BA'=rだから、AB=dとおくと、
    
    
    
    したがって、
    
    
    
    「疎」な媒質から、「密」な媒質へ入射(n₁＜n₂,n₁₂＞1)するとき→境界面から遠ざかるように屈折(i＞r)
    
    「密」な媒質から、「疎」な媒質へ入射(n₁＞n₂,n₁₂＜1)するとき→境界面に近づくように屈折(i＜r)
    この場合、屈折角がr=90°となることがある。このときの入射角i_cを、｢臨界角｣と呼び、ii_cで、｢全反射｣が生じる。
    
    
  • ヤングの実験
    
    単一の光源から出た光は、第1のスリットS₀を通り、間隔d[m]で並ぶ第2のスリットS₁,S₂を経て、L[m]離れたスクリーンに向かう。第1のスリットは、2つの第2スリットのちょうど中央に位置しているから、S₁,S₂において、光の位相はそろっている。
    
    
    
    スクリーン上、S₀とS₁S₂の中点を結ぶ線の延長が交わる点をOとし、ここからx[m]の位置にある点Pについて、S₁,S₂を経由して到達した光が干渉する条件について考える。
    
    実際の装置は、dが数ミリ程度、Lが数メートル程度で、1:10³ほどの比であるが、作図の都合上縦横比を変えてあることに注意が必要である。
    
    三平方の定理から、
    
    S₂P²-S₁P²=
    
    また、
    
    S₂P²-S₁P²=(S₂P-S₁P)(S₂P+S₁P)
    
    である。ここで、
    
    S₂P+S₁P2Lと近似すると、
    
    S₂P-S₁P=
    
    
    • Pが明線となるのは、光路差S₂P-S₁Pが、波長λの整数倍、すなわち、
      
      S₂P-S₁P=mλ         (m=0,1,2,・・・)
      
      
    • Pが暗線となるのは、光路差S₂P-S₁Pが、半波長の奇数倍、すなわち、
      
      S₂P-S₁P=  (m=1,2,3,・・・)
    m番目の明線の位置をx_mとすると、
    
    
    
    
    
    これは自然数mの1次式であるから「等差数列」で、mの係数が「公差」、すなわち、「明線間隔」をあらわす。
    明線間隔xは、
    
    
    
    こうして、縞の間隔は波長に比例することがわかった。スクリーン上には、等間隔に縞が並び、これを計測することで、入射光の波長を計算により求めることができる。
    
    [別解]次のような関数を考える。
    
    
    
    xが十分に小さいとき、1次近似として、
    
    
    
    を用いると、
    
    
    
    ここから、
    
    S₂P-S₁P=
    
    
    
                 =
    
    
    
    
  • 回折格子
    
    薄いガラスの板に、1センチメートル当たり数千本もの直線状の傷をつける。傷のついた部分は表面がギザギザなので光は乱反射する。傷の付けられなかったところだけ、光が直進するから、無数のスリットが並んだようなものが出来上がる。これが、｢回折格子｣である。
    
    スリット間隔がd、回折角がθであるとき、隣接するスリットから出た光の光路差は dsinθ であるから、これが波長λの整数倍であるとき、これらの回折光同士は強めあい、十分離れた場所にあるスクリーン上に明線を作る。これを｢回折縞｣という。
    
     dsinθ =mλ      (m=0,1,2,3,・・・)
    
    一般に波は、障害物の大きさが波長と同程度またはそれより小さいとき、大きく回折するといわれる。可視光線の波長は10^-7m程度であるから、1ミリ程度の厚さのガラス板では、それほど回折しない。下の図も横と縦の拡大比1:1000ぐらいと考えるべきである。
    上の式でmを｢回折光の次数｣というが、最大の回折角をθ₀とすると 0θθ₀ の範囲で、何本の回折縞が観測できるか？、すなわち｢回折光の次数｣は、限られた数であることがわかる。
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
  • 薄膜による干渉
    
    
    
    同位相の平行光線、A,A'からの光が、
    
    
    1. A→B→C→D→E
    2. A'→D→E
    
    の二つの経路を通って、Eで干渉する。
    B-B',D'-Dは、それぞれ同位相だから、光路差は、D'→C→Dの｢光学距離｣にあたる。
    媒質n₁,n₂の境界面に関して、Dと対称な点をD"とすると、
    CHDCHD"
    だから、 CD=CD"
    したがって、 D'C+CD=D'C+CD"=D'D"
    また、 CD"D=r
    だから、 D'D"=DD"cosr
    したがって、 D'C+CD=2dcosr
    その｢光学距離｣は 2n₁dcosr
    
    ここで、A'→D→Eは｢疎｣から｢密(n₁＞1)｣への反射だから、「固定端反射」で、位相がπ(半波長)ずれる。
    B→C→Dの反射の性質は、n₁,n₂の大小関係によって異なる。
    
    1. n₁＞n₂の場合:B→C→Dは｢密｣から｢疎｣、自由端反射、位相はずれない
       2n₁dcosr=   (m=1,2,3,・・・)：強めあう
       2n₁dcosr=mλ               (m=0,1,2,・・・)：弱めあう
       
       
    2. n₁＜n₂の場合:B→C→Dは｢疎｣から｢密｣、固定端反射、位相はπずれる
       2n₁dcosr=mλ               (m=0,1,2,・・・)：強めあう
       2n₁dcosr=   (m=1,2,3,・・・)：弱めあう
    
    
    
    
  • くさび形薄膜による干渉
    
    
    
    真上から入射した光について、くさび形の隙間の上面と下面での反射光が、干渉する。
    
    2つの反射光の光路差は、2d
    ここで、ABCAPQから、
    
    したがって、
    
    
    P,Qでの反射の性質は、n₁,n₂の値によって異なる。
    n₁＞1,n₂＞1の場合を考えると、Pは｢固定端反射｣、Qは｢自由端反射｣だから、
    
    =   (m=1,2,3,・・・)：明線
    
    =mλ               (m=0,1,2,・・・)：暗線
    
    左端からm番目の明線位置をx_mとすると、
    
    
    これも自然数mの1次式だから「等差数列」、その係数が「明線間隔」であるが、
    明線間隔xは、
    
    
    
    
    
    
    
  • ニュートン環(物理�U)
    
    
    
    曲率半径R[m]の球を｢切り取った｣半凸レンズとガラス板を重ね、光を真上から入射させる。
    • レンズと板の隙間の上面で反射した光と、下面で反射した光の干渉(反射ニュートン環)
    • 直進して透過した光と、隙間の両面で反射した後透過した光との干渉(透過ニュートン環)
    
    
    R²=x²+(R-d)²
    
    x²-2dR+d²=0
    
    ここで、dはxに比べて十分に小さいので、
    
    x²-2dR0
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    光路差は2dである。それぞれの面での反射の性質は、レンズ、隙間に充填されている媒質、ガラス板の屈折率による。それぞれ、n₁  ,1  ,  n₂とし、n₁＞1、n₂＞1とすると、
    
    
    • 反射ニュートン環(上面：自由端反射、下面：固定端反射)
      
      2d=   (m=1,2,3,・・・)：明環
      
      2d=mλ               (m=0,1,2,・・・)：暗環
      
      
    • 透過ニュートン環(固定端反射が2回)
      
      2d=mλ               (m=0,1,2,・・・)：明環
      
      2d=   (m=1,2,3,・・・)：暗環
    
    反射ニュートン環で、m番目の明環の半径をx_mとすると、
    
    
    
    であるから、明環の間隔��x=x_m+1-x_mは一定ではない。
    隣接する2本の明環にはさまれたドーナツ状の面積Sは、
    
    
    
    となり、mにかかわらず一定である。したがって、ニュートン環は中心から離れるほど、その間隔は小さくなることがわかる。