- 定理1.4を証明せよ。
定理1.4
{an},{bn}が収束するとき、次が成り立つ:
-
-
- (cはnに無関係な定数)
-
-
[証明]
以下、とする。
- であるから、任意の正数εに対して、
n>N1のとき、となるN1および、
n>N2のとき、となるN2が存在する。
ここで、N1,N2のうち、小さくないもの、を、Nとする、すなわち、N=max(N1,N2)とすると、
n>Nのとき、n>N1かつn>N2であるから、
これは、任意の正数εに対して、
n>Nのとき、であることを示している。すなわち、
- であるから、任意の正数εに対して、
n>N1のとき、となるN1および、
n>N2のとき、となるN2が存在する。
ここで、N1,N2のうち、小さくないもの、を、Nとする、すなわち、N=max(N1,N2)とすると、
n>Nのとき、n>N1かつn>N2であるから、
これは、任意の正数εに対して、
n>Nのとき、であることを示している。すなわち、
注:上では、以下を用いた。
|A+B|≦|A|+|B|
B'=-Bとおくと、|A-B'|≦|A|+|-B'|=|A|+|B'|
よって、|A-B'|≦|A|+|B'|
- であるから、任意の正数ε'に対して、
n>Nのとき、となるNが存在する。
nに無関係な定数cに対して、
ここで、|c|ε'=εとおくと、任意の正数ε'に対して、正数εをとることができるから、
任意の正数εに対して、
n>Nのとき、すなわち、
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