4. まず、
   
   正数ε'に対して、
   n＞N₁のとき、|a_n-a|＜ε'となるN₁が存在し、
   n＞N₂のとき、|b_n-b|＜ε'となるN₂が存在する。
   n＞max(N₁,N₂)のとき、|a_n-a|・|b_n|+|a|・|b_n-b|＜ε'(|a|+|b_n|)
   ここで、ある正の定数cに対して、nが十分大きければ、|b_n|＜|b|+cとすることができれば、上式は、
   n＞max(N₁,N₂)のとき、|a_n-a|・|b_n|+|a|・|b_n-b|＜ε'(|a|+|b_n|)＜ε'(|a|+|b|+c)
   となるから、改めて、ε=ε'(|a|+|b|+c)とおきなおせば、式がわかりやすくなる。すなわち、
   となるが、問題は、正の定数cの大きさがわからない、というところにある。
   cがかなり大きければ、N₂よりずっと小さなnで|b_n|＜|b|+cとできるが、
   cが小さく、ε'よりさらに小さくなってしまえば、N₂では|b_n|＜|b|+cは成立しない。
   そこで、次のような工夫をする。つまり、はじめから、ε'を、
   とcのうち、より大きくないもの、すなわち、
   と、定義しておくのである。

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   以上の工夫を踏まえて、答案を書き直すと、
   
   まず、
   
   正数ε、および正数cに対して、
   n＞N₁のとき、|a_n-a|＜となるN₁が存在し、
   n＞N₂のとき、|b_n-b|＜となるN₂が存在する。
   n＞max(N₁,N₂)のとき、|a_n-a|・|b_n|+|a|・|b_n-b|＜(|a|+|b_n|)＜(|a|+|b|+c)=ε
   これは、n＞N=max(N₁,N₂)のとき、|a_nb_n-ab|＜εとなることを意味している。
   すなわち、
   

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   cは、正でありさえすれば何でもよい、たとえば、1でもよいから、次のようにも書ける。
   
   まず、
   
   正数εに対して、
   n＞N₁のとき、|a_n-a|＜となるN₁が存在し、
   n＞N₂のとき、|b_n-b|＜となるN₂が存在する。
   n＞max(N₁,N₂)のとき、|a_n-a|・|b_n|+|a|・|b_n-b|＜(|a|+|b_n|)＜(|a|+|b|+1)=ε
   これは、n＞N=max(N₁,N₂)のとき、|a_nb_n-ab|＜εとなることを意味している。
   すなわち、
   

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