を示したい。
であるから、
正数ε'に対して、
n＞Nのとき、|bn-b|＜ε'となるNが存在する。
としたい。・・・の部分は、nに無関係な定数である必要がある。
そこで、c＞1に対して、であるから、十分大きなnをとれば、
とできる。
であるから、
とすればよい。ただ、ここでも問題は、cの大きさが不明なことである。
cが1よりかなり大きければ、Nよりずっと小さなnでとできる。
cが1に十分近くなってしまえば、Nではは成立しない。
そこで次のような工夫をする。つまり、はじめから、ε'を、
と、定義しておくのである。すなわち、
正数ε、および正数cに対して、
n＞Nのとき、|bn-b|＜
となるNが存在する。
よって、である。
cは1より大きければ、何でもいい。たとえば2とすれば、
正数εに対して、
n＞Nのとき、|bn-b|＜
となるNが存在する。
よって、である。
ivの結果とあわせて、