• まず、{a_n}の単調性を示すことから着手する。
  
  ・・・(*)
  ここで、であるから、
  1. a₂＞a₁であれば、a_n+1＞a_n、すなわち単調増加である。
     [証明]数学的帰納法
     1. n=1のとき、a₂＞a₁
     2. n=k-1のとき、a_k＞a_k-1、と仮定する。
        (*)より、a_n+1＞a_n
     i,iiより、n=1,2,・・・に対して、a_n+1＞a_n
  2. a₂≦a₁であれば、a_n+1≦a_n、すなわち単調減少である。
     [証明]は上と同様

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• では、それぞれ、
  1. a₂＞a₁
  2. a₂≦a₁
  となるa₁＞-2の範囲を定めよう。
  1. a₂＞a₁となるa₁＞-2の範囲を定める。
     1. a₂≧0、-2＜a₁＜0のとき
        当然成立
     2. a₂＞a₁≧0のとき
        a₂²-a₁²＞0
        (2+a₁)-a₁²＞0
        a₁²-a₁-2＜0
        (a₁-2)(a₁+2)＜0
        -1＜a₁＜2
        a₁≧0だから、0≦a₁＜2
     i,iiより、a₂＞a₁となるのは、-2＜a₁＜2
  2. a₂≦a₁となるa₁＞-2の範囲を定める。
     a₁＞-2だから、
     a₂²-a₁²≦0
     a₁²-a₁-2≧0
     a₁≦-1  ,  a₁≧2
     a₁＞0だから、a₁≧2
  a₂＞a₁となるのは、a₁≧2

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  以上、まとめると、
  1. -2＜a₁＜2のとき、{a_n}は単調増加であり、
  2. a₁≧2のとき、{a_n}は単調減少である、
  ことが示された。

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1. -2＜a₁＜2のとき
   • {a_n}が上に有界であり、その上限が2であること、
     すなわち、n=2,3,・・・に対して、a_n≦2であることを示す。数学的帰納法による。
     1. n=2のとき、
        -2＜a₁＜2
        0＜2+a₁＜4
        0＜√(2+a₁)＜2
        0＜a₂＜2
     2. n=k-1に対して、
        a_k-1≦2
        と仮定すると、
        2+a_k-1≦4
        √(2+a_k-1)≦2
        a_k≦2
     i,iiより、n=2,3,・・・に対して、a_n≦2である。
   • {a_n}が上に有界であり、その上限が2であり、かつ、{a_n}が単調増加であることから、
     
     が示された。
2. a₁≧2のとき
   • {a_n}が下に有界であり、その下限が2であること、
     すなわち、n=2,3,・・・に対して、a_n≧2であることを示す。数学的帰納法による。
     1. n=2のとき、
        a₁≧2
        2+a₁≧4
        √(2+a₁)≧2
        a₂≧2
     2. n=k-1に対して、
        a_k-1≧2
        と仮定すると、
        2+a_k-1≧4
        √(2+a_k-1)≧2
        a_k≧2
     i,iiより、n=2,3,・・・に対して、a_n≧2である。
   • {a_n}が下に有界であり、その下限が2であり、かつ、{a_n}が単調減少であることから、
     
     が示された。

I,IIより、いずれの場合も、

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